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\( \newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \def\lr#1#2#3{\ensuremath{\left#1#3\right#2}} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \)
Exercice 1 : Indiquez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Écrivez vos réponses sur votre feuille à en-tête. Il n'est pas nécessaire de justifier vos réponses.
n° 1.1 : La fonction \(x \mapsto \arcsin(x)-2\) est toujours strictement négative \(\forall x \in \left[-1;1\right]\)
n° 1.2 : L'équation \(\arcsin^2 x -\arccos^2 x = 0\) possède deux racines distinctes
n° 1.3 : \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\arctan(2x)}{4x}=\frac{1}{2}\)
n° 1.4 : \(\arccos\left(1-x^2\right)=0 \iff x=0\)
n° 1.5 : \(\sin \left( \arcsin \left( \frac{12}{11}\right) \right) = \frac{12}{11}\)
n° 1.6 : La dérivée de \(f(x) = \arccos^2 x\) est \(\frac{2\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\)
n° 1.7 : \(\forall x\in \left[-1;1\right] \ : \ \cos^2 \left( \arcsin x\right) = 1+x^2\)
Exercice 2 : Citez la formule de De Moivre (on ne demande pas de la démontrer). Appliquez-la pour calculer la forme algébrique de \( \left( -1 + \mathbf{i} \sqrt{3}\right) ^{343} \).
Exercice 3 : On considère la fonction $f : x \mapsto 3-\sqrt{2-x}$
n° 3.1 : Donnez $\dom f$ et $\ima f$.
n° 3.2 : Cette fonction possède une réciproque fonctionnelle. Quelle est son expression analytique ? Indiquez son domaine d'existence et son ensemble image.
Exercice 4 : Résoudre dans \(\mathbb C\) les équations en l'inconnue \(z\) suivantes :
n° 4.1 : \( \left( 2+ \mathbf{i}\right) z - (1- \mathbf{i} )^2 = 0\)
n° 4.2 : \(z^2+z+1+\mathbf{i}=0\)
Exercice 5 : Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \; ; \; x \mapsto x \cdot \arcsin{\left(\frac2x\right)}$
n° 5.1 : Détermine son domaine de définition.
n° 5.2 : Calcule en détail $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
n° 5.3 : Que signifie, d'un point de vue graphique, le résultat obtenu au point précédent ?
Exercice 6 : Soit \(z=\left( 1+m^2\right) + \left( \sqrt{12}\cdot m\right) \mathbf{i}\), un nombre complexe où \(m\) est un paramètre réel.
Recherchez l'unique valeur réelle du paramètre \(m\) qui vérifie \(\text{arg} \left( z\right) = \frac{5\pi}{3}\)