Examen rhétos math 6h -- Juin 2024

$ \def\R{{\mathbb R}} \def\bold#1{{\bf #1}} \newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\rlf}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand\dif[1]{\ \mathrm{d}#1} \def\e{{\mathbf e}} $

Exercice 1 : Écrire l'expression suivante sous la forme d'une fraction simplifiée \[\log_a{\sqrt[3]{a}}+\log_{a^2}{\sqrt[4]{a}}+\log_{a^3}{\sqrt[5]{a}} \quad \text{où} \quad a\in\mathbb{R}_0^+\]

Solution

\[\begin{aligned} \log_a{\sqrt[3]{a}}+\log_{a^2}{\sqrt[4]{a}}+\log_{a^3}{\sqrt[5]{a}} &= \frac{1}{3}\log_a{a}+\frac{1}{4}\log_{a^2}{a}+\frac{1}{5}\log_{a^3}{a}\\ &= \frac{1}{3}\log_a{a}+\frac{1}{8}\log_{a^2}{a^2}+\frac{1}{15}\log_{a^3}{a^3}\\ &= \frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15} = \frac{21}{40} \end{aligned}\]

Exercice 2 : Quelle est la réponse correcte : \[\exp_2\left( x\right) \cdot \exp_{0,5}\left( \frac{1}{x}\right) = \ldots\]

(A) $2^x \quad $ (B) $\left( \frac{1}{2}\right) ^x\quad$ (C) $2^{\frac{x^2-1}{x}}\quad$ (D) $2^{\frac{1-x^2}{x}}\quad$ (E) $x^{\frac{2}{x}-x}\quad$ (F) $2^{-1}$

Solution

\begin{align} \exp_2\left( x\right) \cdot \exp_{0,5}\left( \frac{1}{x}\right) &= 2^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \\ &= 2^x \cdot 2^{-\frac{1}{x}} \\ &= 2^{x-\frac{1}{x}} \\ &= 2^{\frac{x^2-1}{x}} \implies \mathbf{C}\\ \end{align}

Exercice 3 : Soient les fonctions $f : \pmb{\into{-1}{+\infty}} \to \R \ ; \ x \mapsto \dfrac{-1}{x+1}$ et $g : \R \to \R \ ; \ x \mapsto -\sqrt{x+1}$.
On donne également la droite $d \equiv x=2$.
Réaliser un schéma de la situation puis calculer l'aire de la région du plan délimitée par l'axe des abscisses, les graphes de $f$ et $g$, et la droite $d$.

Solution

\begin{align} \mathrm{aire}&=\int_{-1}^{0}\sqrt{x+1}\dif{x} + \int_{0}^{2}\frac{1}{x+1}\dif{x}\\ &= \frac{2}{3}+\ln 3 \end{align}

source figure

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\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{tikz,tkz-fct}
\usetikzlibrary{shapes,arrows,positioning,calc}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=-2,xmax= 4,xstep=1,ymin=-2,ymax=1,ystep=1]
\tkzDrawX[label={}]
\tkzDrawY[label={}]
\tkzFct[very thick, domain = -0.9:3]{-1/(x+1)}
\tkzDrawArea[pattern=north east lines,domain = 0:2]
\tkzFct[very thick, domain = -1:3]{-sqrt(x+1)}
\tkzDrawArea[pattern=north west lines,domain = -1:0]
\tkzVLine[style = dashed,thin]{2}
\tkzLabelX[orig=false,node font=\tiny,above = 6pt]
\tkzLabelY[orig=false,node font=\tiny]
\end{tikzpicture}
\end{document}

Exercice 4 : Rechercher le domaine de définition de la fonction $f : x \mapsto \sqrt{\log\left( 2-x\right) +2}$

Solution

Conditions d'existence : $2-x>0$ et $\log\left( 2-x\right) +2\geq 0$ \begin{align} 2-x>0 &\iff x<2 \\ \log\left( 2-x\right) +2\geq 0 &\iff \log\left( 2-x\right) \geq -2 \\ &\iff \log\left( 2-x\right) \geq \log\left( 10^{-2}\right) \\ &\iff 2-x \geq 10^{-2} \\ &\iff x\leq 1,99\end{align} conclusion : $\text{dom} \ f = ]-\infty;1,99]$

Exercice 5 : On donne $f : x \mapsto \dfrac{x}{\ln\left( x^2\right) }$

Dresser son tableau de variations ;
Indiquer l'abscisse et l'ordonnée des éventuels extremums du graphe de $f$.

Solution

Toujours rechercher le domaine d'existence d'une fonction dont on donne l'expression analytique :
1. $x^2>0 \iff x\neq 0$
2. $\ln\left( x^2\right)\neq 0 \iff x^2\neq 1 \iff x\neq \pm1$
$\mathrm{dom} \ f = \R_0 \setminus \left\{\pm 1\right\}$
Dérivée première : $\left(\dfrac{x}{\ln\left( x^2\right)}\right)' = \dfrac{\ln\left(x^2\right) - x\cdot \frac{1}{x^2}\cdot 2x}{\ln^2\left( x^2\right)} = \dfrac{\ln\left(x^2\right) - 2}{\ln^2\left( x^2\right)}$
racines de $f'$ : $\ln\left(x^2\right) - 2 = 0 \iff x^2 = \e^2 \iff x=\pm \e$
remarque : $f$ est une fonction impaire !

Exercice 6 :

Soit Calculer les intégrales suivantes

$\displaystyle \int x\cdot \e^{-x^2} \dif{x}$
$\displaystyle \int \frac{\dif{x}}{x^2+4x+5}$
$\displaystyle \int 2x\cdot \e^{-2x} \dif{x}$
$\displaystyle \int \frac{3}{x^{3}+3x} \dif{x}$

Solution

1. u-subst. : $u=-x^2 \leftrightarrow \dif{u} = -2x \dif{x}$

$\displaystyle \int x\cdot \e^{-x^2} \dif{x} = -\frac{1}{2} \int \e^{u} \dif{u} = -\frac{1}{2} \e^{-x^2} + C$

2. $\begin{aligned}[t] \int \frac{\dif{x}}{x^2+4x+5} &= \int \frac{\dif{x}}{x^2+4x+4+1} \\ &= \int \frac{\dif{x}}{(x+2)^2+1} \\ &= \arctan(x+2)+C \end{aligned}$

3. $\begin{aligned}[t] \int 2x\cdot \e^{-2x} \dif{x} &= - \int x \dif{\ \e^{-2x}} \\ &= - x\cdot \e^{-2x} + \int \e^{-2x} \dif{x} \\ &= - x\cdot \e^{-2x} - \tfrac12 \e^{-2x} + C \\ &= - \left(x+\tfrac12\right) \ \e^{-2x} + C \end{aligned}$

4. $\displaystyle \int \frac{3}{x^{3}+3x} \dif{x} = \int \frac{1}{x} \dif{x} - \int \frac{x}{x^{2}+3} \dif{x} = \ln |x| - \tfrac{1}{2} \ln \left(x^2+3\right) + C$

Fractions partielles : $\dfrac{3}{x\cdot(x^{2}+3)} = \dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+3} $

$A(x^2+3)+(Bx+C)x=3 \iff (A+B)x^2+Cx+3A=3 \iff A=1,\ B=-1, \ C=0 $

Exercice 7 : Évaluer le volume du solide engendré par la révolution autour de la droite d'équation $y=3$ de l'aire découpée par cette droite dans la courbe d'équation $y=4x-x^2$ (réaliser un schéma de la situation).

Solution

Attention, l'axe de rotation a pour équation $y=3$ !
Il faut aussi résoudre l'équation $4x-x^2=3$ pour obtenir les bornes d'intégration : $x_0=1$ et $x_1=3$ $\displaystyle V=\pi \int_{1}^{3} \left(4x-x^2-3\right)^2 \dif{x} = \dfrac{16\pi}{15}$

développement de $\left(4x-x^2-3\right)^2$ : \begin{align} \left(4x-x^2-3\right)^2 &= \left(x^2-4x+3\right)\left(x^2-4x+3\right) \\ &= x^2(x^2) + x^2(-4x) + x^2(3) + (-4x)(x^2) + (-4x)(-4x) + (-4x)(3) + 3(x^2) + 3(-4x) + 3(3)\\ &= x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 4x^3 + 16x^2 - 12x + 3x^2 - 12x + 9\\ &= x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + 9 \end{align}

Exercice 8 : Un joueur lance un dé bien équilibré. Avant de lancer le dé, il doit payer une mise de $ m $ euros. Si le dé présente un nombre de points supérieur ou égal à 4, le joueur gagne en euros le double du nombre de points indiqué par le dé. Sinon, il ne gagne rien. Quelle doit être la mise maximum $ m $ pour s'assurer que ce jeu ne lui soit pas défavorable ?

Solution

Les gains nets pour chaque résultat :

Si le dé montre un 1, 2 ou 3 : Le joueur perd la mise $ m $.
Si le dé montre un 4, 5 ou 6 : Le joueur gagne respectivement $ 8 - m $, $ 10 - m $, ou $ 12 - m $.

Espérance de gain :

$ E(X) = \frac{1}{6}(0 - m) + \frac{1}{6}(0 - m) + \frac{1}{6}(0 - m) + \frac{1}{6}(8 - m) + \frac{1}{6}(10 - m) + \frac{1}{6}(12 - m) = \frac{1}{6}(-6m + 30) $

Pour que ce jeu ne soit pas défavorable au joueur, l'espérance de gain doit être positive ou nulle : $-6m + 30\geq 0 \iff m\leq 5$

Conclusion : La mise maximum $ m $ doit être inférieure à 5 euros.