Archives Examens de juin en rhétos math 6h

en construction \( \def\R{{\mathbb R}} \def\bold#1{{\bf #1}} \newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\rlf}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand\dif[1]{\ \mathrm{d}#1} \def\e{{\mathbf e}} \)

Exercice 1 : Vrai ou faux ? Justifiez ! Si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale avec $E(X)=36$ et $\sigma(X)=3$ alors $P(X=29)\approx 0,01$ au millième près.

Solution

Solution

$E(X)=36 \iff n\cdot p = 36$ et $$\sigma(X)=3 \iff \sqrt{np(1-p)}=3 \iff np\left(1-p\right)=9$$ D'où $p=3/4$ et $n=48$. $P(X=29) = \binom{48}{29}\ (3/4)^{29} (1/4)^{48-29} \approx 0,009998$ ou au millième près $\approx 0,01$. C'est Vrai !

Exercice 2 : Exprimez la formule d'intégration par parties et démontrez-la.

Solution

Solution

${\displaystyle \begin{aligned}[t]\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}$

La démonstration du théorème découle directement de la règle du produit : $$(uv)'=u'v+uv'$$ On a donc $uv'=(uv)'-u'v$ et aussi : $$\int_a^bu(x)v'(x)~\mathrm dx=\int_a^b(uv)'(x)~\mathrm dx-\int_a^b u'(x)v(x)~\mathrm dx$$ ce qui, d'après le second théorème fondamental de l'analyse, donne l'égalité annoncée.

Exercice 3 :

Soit $a\in\mathbb{R}_0^+$.

  1. Ecrivez $\ln\left(2a\right) + \ln\left(3a\right) + \ln\left(4a\right) - \ln\left(6a\right)$ sous la forme d'un seul logarithme.
  2. Pour quelle valeur de $a$ cette expression sera-t-elle égale à $2$ ?

Solution

Solution

\[\begin{aligned} \ln\left(2a\right) + \ln\left(3a\right) + \ln\left(4a\right) - \ln\left(6a\right) &= \ln\left(\tfrac{2a\cdot 3a\cdot 4a}{6a}\right)\\ &= \ln\left(\tfrac{24a^3}{6a}\right)\\ &=\ln\left(4a^2\right) \end{aligned}\]

$\ln\left(2a\right) + \ln\left(3a\right) + \ln\left(4a\right) - \ln\left(6a\right)=2\iff \ln\left(4a^2\right)=2 \iff 4a^2 = \mathbf{e}^2 \iff 2a=\pm\mathbf{e}$

finalement, $a=\frac{\mathbf{e}}{2}$ puisque $a\in\mathbb{R}_0^+$. (autre réponse possible $a=\mathbf{e}^{1-\ln 2}$)

Exercice 4 : énoncé

Solution

Solution

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