Algèbre et nombres complexes

Exercice 1 : Déterminer \( \alpha \in \mathbb{C} \) pour que l'équation \[ iz^2 + (1 + \alpha i)z + \alpha(1 + 2i) = 0 \] admette 2 solutions complexes conjuguées. Calculer ces solutions.

solution

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Exercice 2 : Déterminer l'ensemble S de tous les nombres complexes \( z \) tels que \( z^3 \) est un réel strictement supérieur à 27. Représenter dans le plan de Gauss l'ensemble S (facultatif).

solution

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Exercice 3 : (ULB)

n° 3.1 : Résoudre dans \(\mathbb{C}\) \[\left( \frac{z + 2 - i}{2z - 1} \right)^4 = 1\]

Solution

Solution

Ensemble des solutions : \(\text{S} = \left\lbrace 3-i, \frac{-1+i}{3}, \frac{-2-4i}{5}, \frac{2+6i}{5}\right\rbrace\)

note : \(w^4=1 \iff w=\pm 1,\pm i\)


n° 3.2 : Résoudre dans \(\mathbb{C}\) \[(z - 2 + i) + \overline{(z + i - 1)} = 0\] où \(\overline{w}\) désigne le complexe conjugué de \(w\).

Solution

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Exercice 4 : Prouver que pour tout nombre complexe \( z = x + \mathbb{i} y \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^- \) : \[ \arg z = 2 \arctan\left(\dfrac{y}{x + \vert z \vert}\right) \]

Solution

Solution

Posons \[ w = x + \vert z \vert + \mathbb{i} y. \]

Remarquons que la partie réelle de \( w \) est \[ \text{Re}(w) = x + \vert z \vert. \]

Comme \( \vert z \vert = \sqrt{x^2 + y^2} \geq |x| \), on a :

  1. Si \( x \geq 0 \), alors \( x + \vert z \vert \geq x + x = 2x \geq 0 \).
  2. Si \( x \leq 0 \), alors \( x + \vert z \vert \geq x + (-x) = 0 \).

De plus, si \( x = -\vert z \vert \) et \( y = 0 \), alors \( z \in \mathbb{R}^- \), ce qui est exclu par hypothèse. Ainsi, on a toujours \( \text{Re}(w) > 0 \).


Étant donné que \( \text{Re}(w) > 0 \), on peut écrire : \[ \arg(w) = \arctan\left(\dfrac{\text{Im}(w)}{\text{Re}(w)}\right) = \arctan\left(\dfrac{y}{x + \vert z \vert}\right). \]

Calculons \( w^2 \) pour établir une relation avec \( z \) : \begin{align*} w^2 &= (x + \vert z \vert + \mathbb{i} y)^2 \\ &= (x + \vert z \vert)^2 - y^2 + 2 \mathbb{i} y (x + \vert z \vert)\\ &= 2(x + \vert z \vert)(x + \mathbb{i} y) \\ &= 2(x + \vert z \vert) z. \end{align*}

Puisque \( w^2 = 2(x + \vert z \vert) z \) et que \( 2(x + \vert z \vert) > 0 \) (car \( x + \vert z \vert > 0 \)), l'argument de \( w^2 \) est égal à l'argument de \( z \) : \[ \arg(w^2) = \arg\left(2(x + \vert z \vert) z\right) = \arg(z). \]

De plus, sachant que pour tout nombre complexe \( w \) : \[ \arg(w^2) = 2 \arg(w) \ (\text{mod } 2\pi). \]

On a donc : \[ \arg(z) = 2 \arg(w) = 2 \arctan\left(\dfrac{y}{x + \vert z \vert}\right) \]