Analyse des fonctions irrationnelles

Exo #01 Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 3x\sqrt{4-x^2}\).

  1. Déterminez son domaine de définition.
  2. Dressez le tableau des signes de \(f\).
  3. Étudiez la parité de \(f\).

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Exo #02 Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \sqrt[3]{5x^2 - 9x + 3}\).

Calculez la pente de la tangente au graphique de \(f\) en son point d'abscisse 2.

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Exo #03 On donne la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \sqrt{x^2(x+1)}\).

  1. Calculez les coordonnées exactes du maximum local de \(f\).
  2. Le point d'abscisse 0 est un «point anguleux» du graphique de \(f\). Vérifiez cette affirmation en calculant la pente de chacune des demi-tangentes en ce point.

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Exo #04 Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2}\).

Étudiez les variations de \(f\) et calculez les coordonnées de ses extrema éventuels.

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Exo #05 Le graphique de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = -\sqrt{2-x}\) a toujours sa concavité tournée « vers le bas » (vers les ordonnées négatives).

Vrai ou faux? Justifiez.

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Exo #06 Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \sqrt{x^2-2x-3}\).

Déterminez le domaine de dérivabilité de \(f\) et précisez si le graphique de \(f\) admet des tangentes verticales.

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Exo #07 Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \sqrt{1+x^3}\).

Étudiez la concavité du graphique de \(f\) et déterminez les coordonnées de son point d'inflexion.

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Exo #08 Déterminez les équations de toutes les asymptotes au graphique de chacune des fonctions suivantes.

  1. \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}\)
  2. \(f(x) = x\sqrt{6-x}\)
  3. \(f(x) = \sqrt{\frac{2x-1}{x+5}}\)
  4. \(f(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)

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Exo #09 Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

Le graphique de \(f\) possède deux asymptotes obliques. Déterminez leurs équations.

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Exo #10 Étudier la fonction suivante: domaine, limites et asymptotes, variations, concavités, graphique (ERM). \[f(x) = \sqrt{\frac{x^{3}}{1+x}}\]

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Exo #11 Voici une question portant sur une fonction rationnelle paramétrique (ULg - septembre 2015)

Par une série d'expériences réalisées dans des conditions d'éclairement contrôlées, on détermine que le taux de croissance d'une variété de légumineuse peut être décrit par la fonction \(f(I)\) de l'éclairement \(I\) dont l'allure est représentée graphiquement ci-dessous.

Le taux de croissance:

  • est positif,
  • est nul sous un éclairement nul,
  • est maximum et vaut \(\mu_{\max}\) (connu) pour un éclairement optimum \(I_{\text {opt }}\) (connu),
  • tend vers zéro si l'éclairement tend vers l'infini.

Déterminez toutes les fonctions de la forme : \[f(I) = \frac{\alpha+\beta I}{1+\delta I+\varepsilon I^{2}}\] permettant de traduire la dépendance du taux de croissance en l'éclairement \(I\) en exprimant les constantes apparaissant dans cette expression en fonction des paramètres \(\mu_{\max}\), \(I_{\text {opt }}\) positifs mesurés expérimentalement. Veillez à simplifier votre résultat au maximum.

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