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Courbes et équations polaires

en construction

Une courbe polaire est une forme construite en utilisant le système de coordonnées polaires. Les courbes polaires sont définies par des points situés à une distance variable de l'origine (le pôle) en fonction de l'angle mesuré par rapport à l'axe des abscisses. \[r(\theta) = 1 - \cos{\theta}\sin{3\theta}\]

Les courbes en coordonnées cartésiennes permettent de représenter des trajectoires en fonction de leurs composantes horizontales et verticales, tandis que les courbes en coordonnées polaires sont plus adaptées pour décrire des trajets définis en fonction d'une distance et d'un angle par rapport à un point fixe, souvent appelé pôle. En effet, dans le plan polaire, chaque point est déterminé par un rayon \( r \) (distance au pôle) et un angle \( \theta \) (angle par rapport à une direction de référence).

Une application courante des coordonnées polaires est la représentation des diagrammes de directivité des microphones directionnels, utilisés pour modéliser la sensibilité d’un microphone en fonction de la direction d’origine du son. Par exemple, un microphone cardioïde présente une courbe de directivité en forme de cœur (ou “cardioïde”), indiquant une sensibilité maximale aux sons provenant de l'avant du microphone et une atténuation des sons venant de l'arrière.

Dans le système de coordonnées polaires, chaque point est représenté par un couple \( (r, \theta) \), où \( r \) désigne la distance radiale entre le point et le pôle (l'origine des coordonnées) et \( \theta \) représente l'angle, mesuré dans le sens trigonométrique (antihoraire), entre l'axe polaire (axe des abscisses positifs) et la droite joignant le pôle au point.

Pour convertir les coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires et inversement, on utilise les formules suivantes :

\[ \begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases} \leftrightarrows \begin{cases} r^2 = x^2 + y^2 \\ \tan \theta = \dfrac{y}{x}. \end{cases} \]

Il faut tenir compte du quadrant dans lequel se trouve le point lors du calcul de \(\theta\) à partir de cette identité.

exemple : Convertir le point \( (1, 2) \) en coordonnées polaires.

Soit \(x = 1\) et \(y = 2\), la valeur de \(r\) est obtenue via \(r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)
La valeur de \(\theta\) est \(\tan{\theta} = \frac{y}{x} = \frac{2}{1} \implies \theta = \arctan(2)\)
Le point est dans le premier quadrant, donc la fonction \(\arctan\) donne la bonne valeur pour \(\theta.\)

La coordonnée polaire du point est \(\left( \sqrt{5}, \arctan(2) \right).\)

exemple : Convertir \( \left( 4, \dfrac{\pi}{4} \right) \) en coordonnées rectangulaires.

Soit \(r = 4\) et \(\theta = \frac{\pi}{4}.\) On trouve : \(x = r\cos{\theta} = 4\cos{\frac{\pi}{4}}= 2\sqrt{2}\) et \(y = 2\sqrt{2}\)

La coordonnée cartésienne du point est \(\big(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}\big).\)

Équations polaires

Une équation polaire est une équation qui décrit une relation entre \(r\) et \(\theta\), où \(r\) représente la distance entre le pôle (l'origine) et un point sur une courbe, et \(\theta\) représente l'angle mesuré dans le sens antihoraire entre un point sur la courbe, le pôle, et l'axe \(x\)-positif.

Les équations cartésiennes peuvent être converties en équations polaires en utilisant le même ensemble d'identités mentionné dans la section précédente. De même, les équations polaires peuvent être converties en équations cartésiennes en utilisant ces mêmes identités.

Un des avantages de l'utilisation des équations polaires est que certaines relations qui ne sont pas des *fonctions* en forme cartésienne peuvent être exprimées comme des fonctions en forme polaire. Le problème ci-dessus en est un exemple. Un autre avantage est que certaines relations sont beaucoup plus simples à exprimer en forme polaire plutôt qu'en forme cartésienne.

Exercice : L'équation d'une courbe est \(x^2 + y^2 - x = \sqrt{x^2 + y^2}\).

  1. Trouvez l'équation polaire de la courbe sous la forme \(r = f(\theta)\).
  2. Tracez la courbe.
  3. La droite \(x + 2y = 2\) divise la région délimitée par la courbe en deux parties. Trouvez le rapport entre les deux aires.

Types de courbes polaires

Il existe une infinité de types de courbes polaires. Toute équation en \(r\) et \(\theta\) peut être tracée comme une courbe polaire. Les exemples suivants sont quelques-uns des types de courbes polaires les plus connus. Remplacer la fonction \(\text{cosinus}\) dans l'équation par une fonction \(\text{sinus}\) produira la même forme, bien qu'elle soit tournée. Dans la plupart des cas, cette rotation sera de \(\frac{\pi}{2}\) radians dans le sens antihoraire.

Droites

Une droite a une équation très simple en forme polaire, à condition que la droite passe par le pôle. L'équation générale d'une droite passant par le pôle est \(\theta=\alpha\), où \(\alpha\) est l'angle que la droite forme avec l'axe \(x\)-positif.

Exemple : \(\theta=\frac{\pi}{6}\)

Remarquez que cette équation ne contient aucun paramètre \(r\). Cela implique que la droite peut s'étendre indéfiniment à partir du pôle, mais l'angle qu'elle forme avec l'axe \(x\)-positif reste constant à \(\alpha\).

Notez aussi que toute droite \(\theta=\alpha+\pi k\) est la même que la droite \(\theta=\alpha\) pour tout entier \(k\).

Droites ne passant pas par l'origine

L'équation cartésienne d'une droite est de la forme \(ax+by+c=0\) avec \(a,b \neq 0\) et \(c\neq 0\) \begin{align} ax+by+c=0 &\iff a\cdot r\cos\theta+b\cdot r\sin\theta+c=0\\ &\iff r=\frac{-c}{a\cos\theta+b\sin\theta}\\ &\iff r=\frac{1}{m\cdot \cos\theta+n\cdot\sin\theta} \end{align} exemple : \(r=\frac{1}{-\tfrac{4+3\sqrt{2}}{12}\cos\theta + \tfrac13 \sin\theta}\)

Cliquez ici pour une leçon plus complète et des exercices sur les droites définies par une équation polaire

Cercles

Un cercle centré au pôle a une équation très simple en forme polaire. L'équation générale centrée au pôle est \(r=a\) où \(a\) est le rayon du cercle.

Exemple : \(r=2\)

Cardioïdes

Une cardioïde est une courbe en forme de cœur formée par la trajectoire d'un point fixe sur un cercle tandis que ce cercle roule autour d'un autre cercle de même rayon. L'équation générale d'une cardioïde est \(r=a+a\cos{\theta}\), où \(a\) est le rayon des cercles décrits dans la définition.

Exemple : \[r=2+2\cos{\theta}\]

Limaçon de Pascal

Un limaçon est une forme plus générale de cardioïde. Alors que les cardioïdes sont formées par la trajectoire d'un point fixé sur un cercle, les limaçons sont formés par la trajectoire d'un point fixé à un cercle. Ce point peut être sur le cercle (ce qui créerait une cardioïde), ou il peut être à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle (ce qui créerait une courbe limaçon différente). Comme pour la cardioïde, la trajectoire est tracée lorsque le cercle roule autour d'un autre cercle de même rayon.

Exemples : \(r=1.5+\cos{\theta}\) \(r=0.5+\cos{\theta}\)

L'équation générale d'un limaçon est \(r=a+b\cos{\theta},\) où le rapport \(\frac{b}{a}\) décrit la forme du limaçon :

Rosaces

Une rosace est une courbe sinusoïdale tracée dans les coordonnées polaires. Ces types de courbes ont une forme de fleur, et les boucles de ces courbes sont appelées des pétales.

Exemple : \(r=\cos(3\theta)\)

L'équation générale d'une courbe rose est \(r=a\cos(k\theta),\)

où \(a\) est l'amplitude de chaque pétale, et \(k\) est un entier qui détermine le nombre de pétales :

Une courbe rose peut aussi être décrite par l'équation suivante \(r=a+b\cos(k\theta).\)

Cette équation est très similaire à l'équation du limaçon ; la seule différence est le paramètre \(k\). Changer les paramètres \(a\) et \(b\) affectera à la fois la forme de la courbe et le nombre de pétales.

Remplacer la fonction \(\text{cosinus}\) par une fonction \(\text{sinus}\) fera tourner la courbe de \(\frac{\pi}{2k}\) radians dans le sens antihoraire (ce qui est différent de la plupart des autres courbes polaires, qui sont tournées de \(\frac{\pi}{2}\) radians).

Spirales d'Archimède

Une spirale d'Archimède est une courbe en forme de spirale qui s'étend indéfiniment à partir du pôle.

Exemple : \(r=\frac{\theta}{2\pi}\)

L'équation générale d'une spirale d'Archimède est \(r=a+b\theta.\) Le paramètre \(a\) affecte la position initiale de la spirale, et le paramètre \(b\) affecte l'espacement des tours de la spirale.

Lemniscates

Une lemniscate est une courbe en forme de huit. C'est le *locus* des points où le produit des distances à deux points (appelés foyers) est une quantité constante.

Exemple : \(r=\sqrt{\cos(2\theta)}\)

L'équation générale d'une lemniscate est \(r^2=a^2\cos(2\theta),\) où \(a\) est l'amplitude de l'un des pétales.

Remplacer la fonction \(\text{cosinus}\) par une fonction \(\text{sinus}\) fera tourner la courbe de \(\frac{\pi}{4}\) radians dans le sens antihoraire (ce qui est différent de la plupart des autres courbes polaires, qui sont tournées de \(\frac{\pi}{2}\) radians).

Sections coniques

Dans le contexte des courbes polaires, une *section conique* est le *locus* des points où le rapport entre la distance à un point (appelé foyer) et la distance à une droite (appelée directrice) est une quantité constante. Ce rapport constant est appelé l'excentricité de la section conique.

Exemple : \(r=\frac{1}{1+\cos{\theta}}\)

L'équation générale d'une section conique est \(r=\frac{l}{1+e\cos{\theta}},\) où \(e\) est l'excentricité de la section conique, et \(l\) est la longueur du demi-latus rectum (la distance le long de l'axe \(y\) du pôle à la courbe).

En utilisant l'équation ci-dessus, la section conique aura toujours un foyer au pôle. La directrice sera la droite \(x=\frac{1}{e}\) \((r=\frac{1}{e}\sec{\theta}\) en forme polaire\()\). Différentes valeurs de \(e\) donneront différents types de sections coniques :

Convertion d'équation

On souhaite convertir l'équation cartésienne suivante en forme polaire : \( 4x^2 + 9y^2 = 36. \) On utilise les identités \(x = r\cos{\theta}\) et \(y = r\sin{\theta} :\) \[ 4r^2\cos^2{\theta} + 9r^2\sin^2{\theta} = 36. \] En résolvant par rapport à \(r\), on obtient \[ \begin{align} r^2\big(4\cos^2{\theta} + 9\sin^2{\theta}\big) &= 36 \\ r^2 &= \frac{36}{4\cos^2{\theta} + 9\sin^2{\theta}} \\ \implies r &= \frac{6}{\sqrt{4 + 5\sin^2{\theta}}}. \end{align} \] On remarque que la courbe est symétrique par rapport à l'origine. Cela signifie que le symbole \(\pm\) n'est pas nécessaire pour décrire la courbe entière. Ainsi, l'équation en forme polaire est \[ r = \frac{6}{\sqrt{4 + 5\sin^2{\theta}}}. \quad \square \]