Trigonométrie et calcul numérique

Exercice 1 : Démontrer que :

1. $\frac{\sin \alpha-\sin \beta}{\cos \alpha-\cos \beta}=-\cot \left(\frac{a+\beta}{2}\right)$

2. $\sin 7 \alpha-\sin 5 \alpha -2 \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha=-2 \cos 4 \alpha \sin \alpha$

3. $\frac{2 \sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}=\tan \alpha+\tan \beta$

Solution

1. \begin{align} \frac{\sin \alpha-\sin \beta}{\cos \alpha-\cos \beta} &= \frac{2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{-2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}\\ &= \frac{2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{-2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)} = -\cot \left(\frac{a+\beta}{2}\right)\\ \end{align}

2. toujours par Simpson : $\sin 7\alpha - \sin 5\alpha = 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha)$ \begin{align} \phantom{text}& \sin 7 \alpha-\sin 5 \alpha -2 \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha=-2 \cos 4 \alpha \sin \alpha\\ &\iff 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha) -2 \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha=-2 \cos 4 \alpha \sin \alpha\\ &\iff -2 \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha=-2 \cos 4 \alpha \sin \alpha - 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha)\\ &\iff \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha = \left( \cos 4 \alpha + \cos 6\alpha \right) \sin \alpha \\ &\iff \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha = 2\cos 5\alpha \cos \alpha \sin \alpha \quad \mathrm{(Simpson)}\\ &\iff \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha = \cos 5\alpha \ 2 \sin \alpha \cos \alpha\\ &\iff \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha = \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha \end{align}

3. \begin{align*} \frac{2 \sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)} &= \frac{2 \sin (\alpha)\cos(\beta) + 2 \sin(\beta) \cos(\alpha)}{2\cos (\alpha) \cos (\beta)} \\ &= \frac{\sin (\alpha)\cos(\beta)}{\cos (\alpha) \cos (\beta)} + \frac{ \sin (\beta)\cos(\alpha) }{\cos (\alpha) \cos (\beta)} \\ &= \tan \alpha+\tan \beta \end{align*}

Exercice 2 : Simplifier au maximum l'expression suivante : $$ \sin \alpha \sin (\beta-\gamma)+\sin \beta \sin (\gamma-\alpha)+\sin \gamma \sin (\alpha-\beta) $$

Solution

Exercice 3 : Exprimer l'expression suivante en fonction de $\cot \frac{x}{2}$ : $$ S=1+\cos x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x+\cos ^{4} x+\ldots $$

Solution

II s'agit ici d'une progression géométrique de raison $\cos x$.

Rappel : La somme des éléments d'une suite géometrique de raison $a$ avec $|a|<1$ est donné par la formule suivante: $$ \sum_{i=0}^{+\infty} a^{i}=\frac{1}{1-a} $$

$$ \begin{aligned} \implies \sum_{i=0}^{+\infty} \cos ^{i} x=& \frac{1}{1-\cos x}=\frac{1}{1-1+2 \sin ^{2} \frac{x}{2}} \\ =& \frac{1+\cot ^{2} \frac{x}{2}}{2} \\ \text { Si } \cos x \neq 1 \end{aligned} $$

Exercice 4 : Si $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont les angles d'un triangle, démontrer que :

1. $\tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$

Solution

2. $\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}+\tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2}+\tan \frac{\gamma}{2} \tan \frac{\alpha}{2}=1$

Solution

3. $\cot \frac{\beta}{2}=\frac{\cot \frac{\alpha}{2}+\cot \frac{\gamma}{2}}{2} \quad$ sachant que $\sin \beta=\frac{\sin \alpha+\sin \gamma}{2}$

Solution

4. $\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\gamma}{2}=\frac{n-1}{n+1} \quad$ sachant que $\sin \left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)=n \sin \frac{\beta}{2}$

Solution

Exercice 5 : L'angle d'élévation d'une tour observée par rapport à un point est de $60^{\circ}$. Lorsque l'on s'approche de la tour d'une distance de $10 \mathrm{~m}$, on l'observe sous un angle de $70,53^{\circ}$. Sachant que $\sin 70,53^{\circ}=2 \sqrt{2} / 3$, calculer sans calculatrice la hauteur de la tour.

Solution

Aide

On montre que $\tan 70,53^{\circ}=2 \sqrt{2} $

Il suffit de résoudre le système \[\begin{cases}\sqrt{3} = \frac{h}{x}\\ 2\sqrt{2} = \frac{h}{x-10}\end{cases}\]

Où $h$ est la hauteur de la tour et $x$ la distance d'observation lorsque l'angle d'élévation est de 60 degrés

On trouve $h=16\sqrt{3}+12\sqrt{2}$

Exercice 6 : Un pylône vertical, dont le pied est inaccessible, se dresse sur un sol horizontal. Trois points $A, B, C$ de ce sol horizontal sont distants respectivement de $40 \mathrm{~m}$, $50 \mathrm{~m}$ et $60 \mathrm{~m}$ du pied du pylône. Les angles sous lesquels on voit de ces trois points le sommet du pylône valent respectivement $\alpha, \beta$ et $\gamma$. Si $\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}$, quelle est la hauteur du pylône?

Solution

$h=20\sqrt 2$

Exercice 7 : Un pylône vertical, dont le pied est inaccessible, se dresse sur un sol horizontal. Deux points $A$ et $B$, situées sur le sol, sont alignées avec le pied du pylône. Si la distance de $A$ à $B$ vaut $d$ et si les angles sous lesquels on voit de ces deux points le sommet du pylône valent respectivement $\alpha$ et $\beta$, calculer la hauteur $h$ du pylône en fonction de $d$, $\alpha$ et $\beta$.

Solution

Exercice 8 : Démontrer la relation suivante : $$ \tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\tan 63^{\circ}+\tan 81^{\circ}=4 $$

Solution

\[ \begin{aligned} & \tan 81^\circ+\tan 9^\circ-(\tan 63+\tan 27) \\ & =\cot 9^\circ+\tan 9^\circ-(\cot 27^\circ+\tan 27^\circ) \\ & =\frac{(\cos 9^\circ)^2+(\sin 9^\circ)^2}{\sin 9^\circ \cdot \cos 9^\circ}-\frac{(\cos 27^\circ)^2+(\sin 27^\circ)^2}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ} \\ & =\frac{1}{\sin 9^\circ \cdot \cos 9^\circ}-\frac{1}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ} \\ & =\frac{2}{\sin 18^\circ}-\frac{2}{\sin 54^\circ} \\ & =2 \cdot \frac{\sin 54^\circ-\sin 18^\circ}{\sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ} \quad (1)\\ & =\frac{4 \cos 36^\circ \sin 18^\circ}{\cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ} \\ & =4 \end{aligned} \] (1) La formule de Simpson en trigonométrie peut être utilisée pour exprimer la différence entre deux sinus comme un produit de sinus. Cela peut être exprimé comme:

\[ \sin a - \sin b = 2 \sin \left( \frac{{a - b}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{a + b}}{2} \right) \]

Pour $\sin 54^\circ - \sin 18^\circ$:

Prenons $a = 54^\circ$ et $b = 18^\circ$:

Calculons d'abord les termes de la formule.

\[ \frac{{a - b}}{2} = \frac{{54^\circ - 18^\circ}}{2} = 18^\circ \] \[ \frac{{a + b}}{2} = \frac{{54^\circ + 18^\circ}}{2} = 36^\circ \]

Maintenant, appliquons ces valeurs à la formule de Simpson:

\[ \sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cdot \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ \]

Donc, $\sin 54^\circ - \sin 18^\circ$ peut être exprimé comme un produit: $2 \cdot \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ$.

Exercice 9 : Démontrer la relation suivante : $$ \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 70^{\circ}=\frac{1}{8} $$

Solution

\[\begin{aligned} \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ &= \sin 10^\circ \cos 40^\circ \cos 20^\circ \quad \text{angles complémentaires} \\ &= \sin 10^\circ \cdot \frac12 \left( 2\cos 40^\circ \cos 20^\circ \right) \\ &= \sin 10^\circ \cdot \frac12 \left( \cos \left( 40^\circ+20^\circ \right) + \cos\left( 40^\circ-20^\circ \right) \right) \quad \text{Simpson} \\ &= \sin 10^\circ \cdot \frac12 \left( \cos 60^\circ + \cos 20^\circ \right) \\ &= \sin 10^\circ \cdot \frac12 \left( \frac12 + \cos 20^\circ \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac12 \cdot \sin 10^\circ \cos 20^\circ \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac14 \cdot \left( 2\sin 10^\circ \cos 20^\circ \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac14 \cdot \left( \sin \left( 10^\circ+20^\circ \right) + \sin \left( 10^\circ-20^\circ \right) \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac14 \cdot \left( \sin \left( 30^\circ \right) + \sin \left( -10^\circ \right) \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac14 \cdot \left( \frac12 + \sin \left( -10^\circ \right) \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac18 - \frac14 \sin 10^\circ \\ &= \frac18 \end{aligned}\]