Étape 1: De la première équation, nous avons:
\[
\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} \implies \frac{\log_2 y}{2} = \log_2 x + \frac{1}{2}
\]
Ce qui donne :
\[y = 2x^2\]
Étape 2: En remplaçant \(y\) dans la deuxième équation, nous obtenons:
\[4x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 8x = 0\]
En factorisant par \(x\), on a :
\[x(x^3 - x^2 - 2x + 2) = 0\]
La factorisation par regroupement donne:
\[x^3 - x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1) - 2(x - 1) = (x^2 - 2)(x - 1)\]
D'où les solutions pour \(x\):
\[x = 0, 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\]
En substituant chaque valeur de \(x\) dans \(y = 2x^2\), nous obtenons:
\[
\begin{aligned}
x = 0 &\implies y = 0, \\
x = 1 &\implies y = 2, \\
x = \sqrt{2} &\implies y = 4, \\
x = -\sqrt{2} &\implies y = 4.
\end{aligned}
\]
Conditions d'existence (CE):
Pour que les logarithmes existent, il faut que \(y > 0\) et \(x > 0\). Ainsi, les solutions qui satisfont ces conditions sont \(x = 1\) avec \(y = 2\) et \(x = \sqrt{2}\) avec \(y = 4\).