Soit $d_m \equiv y=mx+2$ la famille de droites passant par P~. On recherche le lieu des points $M$ déterminés par l'intersection de $d_m$ avec $\mathcal{C}$ : $$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=mx+2 \end{cases}$$ On obtient une équation du second degré : $\left(1+m^2\right)x^2+4mx+3=0$

Le réalisant est $\rho = 4m^2-12$ et il doit être positif ou nul pour obtenir deux points d'intersection. $$m^2-3\geq0 \iff m \in ]-\infty,-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3},+\infty[$$

L'abscisse et l'ordonnée du point milieu d'un segment sont obtenus (resp.) en divisant par deux la somme des abscisses et la somme des ordonnées des extrémités de celui-ci. Or, la somme des abscisses correspond précisément à la somme des racines d'une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$. Comme celle-ci vaut $-\frac{b}{2a}$, l'abscisse du point milieu vaut : $$x_M = -\frac{4m/(1+m^2)}{2} = -\frac{2m}{1+m^2}$$ En outre, $y_M = m\cdot x_M + 2$, d'où $$y_M=\frac{2}{1+m^2}$$

Le lieu recherché est : $$\mathcal{L} \equiv \Bigg\{\left(-\frac{2m}{1+m^2};\frac{2}{1+m^2}\right) \in \mathbb{R}^2 \; \Bigg| \; m \in ]-\infty,-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3},+\infty[\Bigg\}$$

Ce lieu est une portion de cercle de centre (0,1) et de rayon 1 ($\mathcal{C} \equiv x^2+\left(y-1\right)^2=1$). En effet, \begin{align*} & \left(-\frac{2m}{1+m^2}\right)^2+\left(\frac{2}{1+m^2}-1\right)^2=1 \qquad \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\\ \iff & \frac{4m^2}{\left(1+m^2\right)^2}+\frac{\left(1-m^2\right)^2}{\left(1+m^2\right)^2}=1\\ \iff & \frac{4m^2+\left(1-m^2\right)^2}{\left(1+m^2\right)^2}=1\\ \iff & \frac{m^4+2m^2+1}{\left(1+m^2\right)^2}=1\\ \iff & \frac{\left(m^2+1\right)^2}{\left(1+m^2\right)^2}=1 \end{align*}