Table des matières

FIXME ( 8-) M64_RevisionsJuin2022.tex) $ \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} $

Exercices Probabilités

Probabilités

Exercice 1 : Soit X et Y deux événements tels que $P(X)=0,7$, $P(Y)=0,4$ et $P\Par{X \cap Y} = 0,3$.

Déterminer : (Montrer les formules utilisées)

  1. $P\Par{X \cup Y} = $
  2. $P\Par{\overline{X} \cap \overline{Y}} = $
  3. $P\Par{X \backslash Y} = $

Exercice 2 : On joue avec un dé truqué à 6 faces. On lance une fois ce dé. On sait que :

  • la probabilité d'obtenir 1, 2, 3, 4 ou 5 est la même
  • la probabilité d'obtenir un 6 est égale à $\frac{1}{2}$

Questions :

  1. Soit A l'événement : “ obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 ”. Calculer P(A).
  2. Soit B l'événement : “ obtenir la face 2 ”. Déterminer P(B).
  3. Soit C l'événement : “ obtenir un nombre pair ”. Déterminer P(C). En déduire la probabilité d'obtenir un nombre impair.

Exercice 3 : Quatre ami.e.s se lancent un défi inspiré du jeu télévisé Pékin Express » : le premier arrivé à Athènes a gagné. Sophie a quatre fois plus de chances de gagner que Pierre. Justine a trois fois plus de chances de gagner que Victor et Victor a deux fois plus de chance de gagner que Pierre. Il n'y a pas d'ex-aequo. CALCULE la probabilité de gagner de Sophie.

Solution

Solution

$P(\textrm{Sophie}) = \frac{4}{13}$

Exercice 4 : On se place dans une classe dont la répartition des élèves selon l'âge est donnée par le tableau ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 15 \textrm{ans} & 16 \textrm{ans} & \textrm{Total} \\ \hline \textrm{Filles} & 6 & 2 & 8 \\ \hline \textrm{Garçons} & 18 & 4 & 22 \\ \hline \textrm{Total} & 24 & 6 & 30 \\ \hline \end{array} $$ On choisit au hasard un élève de cette classe. Calculer :

  1. La probabilité d'avoir choisi un garçon de 15 ans
  2. La probabilité de ne pas avoir choisi une fille de 15 ans
  3. La probabilité d'avoir choisi un garçon ou une élève de 15 ans

Probabilités conditionnelles

Exercice 5 : Vrai ou faux ? justifier. (https://www.apmep.fr/Concours-Advance - Concours 2013)

Deux laboratoires proposent chacun leur vaccin contre la grippe. On sait qu'un quart de la population a utilisé le vaccin 1 et un sixième le vaccin 2. Il n'est pas possible pour un individu d'être vacciné deux fois. L'épidémie ayant eu lieu, on constate que 1% des malades ont utilisé le vaccin 1 et 0,6% le vaccin 2.

On choisit au hasard un individu dans la population, on note \( M \) = “ l'individu est malade ”, \( V_1 \) = “ l'individu a reçu le vaccin 1 ”, \( V_2 \) = “ l'individu a reçu le vaccin 2 ”.

  1. La probabilité que l'individu soit vacciné est \( P(V_1) + P(V_2) \)
  2. Les données ne permettent pas de calculer \( P(M\, | \, {\overline{V_1}}) \)
  3. \( P(V_1) = \dfrac{1}{100} \)
  4. \( P(\overline{V_2}\, | \, M) = 0,94 \)
  5. \( \dfrac{P(M\, | \, \overline{V_2})}{P(M\, | \, V_2)} = \dfrac{P(\overline{V_2}\, | \, M)P(V_2)}{P(V_2\, | \, M)P\left(\overline{V_2}\right)} \)

Solution

Solution

VVFFV

$P(V_1) = 1/4$ ; $P(V_2) = 1/6$ ; $P(V_1 | M) = 1/100$ et $P(V_2 | M) = 6/1000$

  1. Il n'est pas possible pour un individu d'être vacciné deux fois $\implies$ indépendance $\implies$ \( P(V_1 \cup V_2) = P(V_1) + P(V_2) \)
  2. \( \begin{aligned}[t] P(M\, | \, {\overline{V_1}}) &= \frac{P(M\cap \overline{V_1})}{P(\overline{V_1})}\\ &= \frac{P(M)-P(M\cap V_1)}{1-P(V_1)}\\ &= \frac{P(M)-P(V_1 | M)\cdot P(M)}{1-P(V_1)}\\ &= \frac{P(M)(1-P(V_1 | M))}{1-P(V_1)}\\ &=\frac{P(M)\cdot 99/100}{3/4} \end{aligned}\)
    mais on ne donne pas $P(M)$, donc on ne peut pas calculer $P(M\, | \, {\overline{V_1}})$
  3. \( P(V_1) = 0,25 \neq 0,01 \)
  4. .
  5. .

Lois de probabilités et Variable aléatoire

Exercice 6 : On lance un dé bien équilibré à 6 faces. Si on obtient $x\leq 4$ points sur la face supérieure, on gagne $1^2+2^2+3^2+\ldots+x^2$ euros. Si on obtient $x\geq 5$ points sur la face supérieure, on perd $x^2$ euros. Ce jeu est-il intéressant ?

Solution

Solution

  • Calculer les gains pour chaque valeur de $x$ de 1 à 4
  • Calculer les pertes pour chaque valeur de \( x \) de 5 à 6
  • Calculer l'espérance mathématique

L'espérance mathématique de ce jeu est de -1,83 euros. Cela signifie que, sur le long terme, un joueur perdra en moyenne 1,83 euros par lancer. Par conséquent, ce jeu n'est pas intéressant pour le joueur.

Exercice 7 : Vrai ou faux ? justifier. (https://www.apmep.fr/Concours-Advance - Concours 2013)

Un forain possède deux roues séparées en 10 secteurs égaux. Sur la première roue, il y a 3 secteurs rouges et 7 blancs, sur la deuxième 1 vert et 9 blancs. Les gains, représentés par la variable aléatoire $X$, sont les suivants :

  • 5 euros si les deux roues tombent sur rouge et vert
  • 2 euros si une seule des deux roues tombe sur blanc
  • 1 euro si les deux roues tombent sur blanc

Alors :

  1. $P(X=2)= \frac{17}{50}$
  2. $P(X \geqslant 2) = \frac{37}{50}$
  3. Si la mise est de 2 euros, la probabilité que le joueur soit bénéficiaire est
  4. Si la mise est de 2,50 euros alors le bénéfice moyen par partie du forain est supérieur à 1 euro
  5. Si le forain veut un bénéfice moyen par partie d'au moins 60 centimes alors il doit demander une mise de 2 euros