Variable aléatoire à densité

On appelle variable aléatoire à densité toute fonction $X:\Omega\to\mathbb R$ telle qu'il existe une fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue par morceaux vérifiant la propriété suivante : $$\forall a<b,\ P(a\leq X \leq b)=\int_a^b f(x)dx.$$

Si une telle fonction $f$ existe, elle est appelée densité de la variable aléatoire $X$ et $f$ est nécessairement positive et intégrable sur $\mathbb R$. Elle vérifie $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1$.

Si $X$ est une variable aléatoire,

• sa fonction de répartition est la fonction $F$ définie sur $\mathbb R$ par $F(t)=P(X\leq t)$. F est continue.
• pour tout $a\in\mathbb R$, on a $P(X=a)=0$.
• si $a<b$, alors
  • $P(a\leq X\leq b)=P(a<X\leq b)=P(a\leq X<b)=P(a<X<b)=\int_a^b f(t)dt$
  • $P(X\geq a)=P(X > a)=\int_a^{+\infty}f(t)dt$
  • $P(X\leq a)=P(X < a)=\int_{-\infty}^a f(t)dt$

Remarque : Si la distribution est continue sans points de discontinuité, la probabilité que X prenne une valeur exacte est nulle, et donc P[X < A] est équivalent à P[X ≤ A]. Cela est dû au fait que la probabilité de rencontrer une valeur précise dans une distribution continue est insignifiante.