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- Module d'un nombre complexe @algebre:nombres-complexes:forme-algebrique
- es Pour deux nombres complexes \( z \) et \( z^{\prime} \) quelconques, on a : \[\bbox[lightyellow,5px]{ \left| z \cdot z^{\prime} \right| = |z| \cdot |z^{\prime}| }\] <hidden **Preuve**> à partir de la propriété \( |z|^2 = z \cdot \bar{z} \) En multipliant \( z \) par \( z^{\prime} \) et en prenant le module au carré, on obtient
- Les fonctions exponentielles @analyse:fonctions:exponentielles_logarithmes
- : <WRAP nicebox blue> \begin{align*} \exp_a^{\prime}(x) = \left(a^x\right)' &= \lim\limits_{h\to 0}\... c{a^h-1}{h}\right) \cdot a^{x} \\ &= \exp_a^{\prime}(0) \cdot a^{x} %\;\textrm{ou}\; \exp_a^{\prime}(0) \cdot \exp_a(x) \end{align*} </WRAP> ===== Interpré... point d'abscisse $0$. On l'écrit donc $\exp_a^{\prime}(0)$ car $\lim\limits_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ co
- Calcul intégral avancé @pesam:6eme_renf_math
- t[ \int_{a}^{u(x)}{f(t)}\;\mathrm{d}{t} \right]^{\prime} = f(u(x))\cdot u'(x)\] **En particulier** : Si ... \int_1^x (x-t)\cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime} &= \left[\int_1^x x\cdot f(t) \; \mathrm{d}t - \int_1^x t \cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime} \\ &= \left[x\cdot \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime}- \left[\int_1^x t \cdot f(t) \; \mathrm{d}t \rig
- Exercices sur les suites et les séries géométriques @algebre:suites-numeriques:geometriques
- entreprise décide de verser à ses ingénieurs une prime annuelle de **500** Euros. Pour ne pas se dévaluer, il est prévu que chaque année la prime augmente de $2\%$ par rapport à l'année précédent... **1)** Calculer $u_2$ puis $u_3$ (c'est-à-dire la prime versée par l'entreprise la 2ème année et la 3ème année) <hidden **Solution**> Chaque année, la prime est multipliée par $1,02$ : $q=1+\dfrac{2}{100}=1
- Exponentielle naturelle et nombre d'Euler @analyse:fonctions:exponentielles_logarithmes:exponentielles
- <WRAP nicebox red> Pour que \(\exp_{\text{e}}^{\prime}(x) = \exp_{\text{e}}(x)\), il suffit de poser \(\exp_{\text{e}}^{\prime}(0)=1\). On a : \[ \exp_{\text{e}}^{\prime}(0)=1 \iff \lim\limits_{h\to 0}\frac{\text{e}^h-1}{h} = 1 \i... \rightarrow \infty}\frac{\left(\text{e}^x\right)^\prime}{x^\prime} = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\f
- Lieux géométriques dans \(\mathbb C\) : exercices @algebre:nombres-complexes:lieux-geometriques
- xe $z \neq-2$, on associe le nombre complexe $z^{\prime}$ défini par : $$z^{\prime}=\frac{z-4 \mathrm{i}}{z+2}$$ L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left|z^{\prime}\right|=1$ est : - un cercle de rayon 1 - une... nt <hidden **Solution**> \begin{align} \left|z^{\prime}\right|=1 &\iff \left|\frac{z-4 \mathrm{i}}{z+2}\
- Exercices sur les fonctions réciproques @analyse:fonctions:reciproques
- - Etudier les variations de $f$ (trouver $f^{\prime}$, tableau des variations) - $f$ est-elle inje... - on a $2\in I$, $f\left(2\right)=1$ et $f^{\prime}\left(2\right)=3$ : que vaut $\left(f^{-1}\right)^{\prime}\left(1\right)$ ? - on a $1\in I$, $f\left(1\right)=2$ et $f^{\prime}\left(1\right)=\frac13$ : que vaut $\left(f^{-1}\
- Systèmes échelonnés @algebre:algebre-lineaire:systemes
- & -2 & 1 & 1 & (2) \\ 0 & -3 & 3 & 3 & \left(1^{\prime}\right) \\ 0 & 3 & -3 & -3 & \left(3^{\prime}\right) \end{array} $$ $\left(1^{\prime}\right) $ et $\left(3^{\prime}\right) $ sont équivalentes et le système est équivalent à : $$ \left\{\b
- Aide mémoire Logarithmes @analyse:fonctions:exponentielles_logarithmes
- ncore $\textbf{e}^x = \left(\textbf{e}^x\right)^{\prime}$, il suffit de poser $\exp_{\textbf{e}}^{\prime}(0)=1$. \[\bbox[pink,15px] {\exp_{\textbf{e}}^{\prime}(0)=\lim\limits_{h\to 0} \frac{\mathbf{e}^h-1}{h}... n\left(u\left(x\right)\right)\right)' = \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}}\] ======Propriétés analytiques======
- Exercices concernant la fonction exponentielle népérienne @analyse:fonctions:exponentielles_logarithmes:exponentielles:nombre_euler_expo_naturelle
- eep> - f est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime}(x)=(x+1) \mathbf{e}^{2 x}$ - f est croissante ... d'asymptotes éventuelles. - Démontrer que $f^{\prime}(x)=\left(-2 x^{2}+7 x-5\right) \mathbf{e}^{-x+2}... \cdot \mathbf{e}^{-0,18 \cdot t}\right)$ et $f^{\prime}(t)=$ vitesse de croissance au temps $t$. Il faut... 6$ années et sa vitesse de croissance est de $f^{\prime}(3,6) \simeq 18 \mathrm{~cm} /$ année - Il faut
- Exponentielles et Logarithmes : Exercices de Dépassement @pesam:6eme_renf_math
- est dérivable sur $\mathbb{R}_0$ et $(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$. Donc : $\left(\forall x \in \mathbb{R}_0\right) \quad f^{\prime}(x)=\mathbf{e}^{x \ln |x|} \cdot\left(\ln |x|+x \... int d'inflexion à tangente verticale. $$\dom f^{\prime}=\mathbb{R}_0$$ </hidden> \\ **n° ~~#.#~~ : **
- Journal de classe 2014-2015 @agenda
- * Formule non démontrée : $$\left[f^{-1}\right]^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(x)\right)}$$ * Application à la fonction arcsin * À partir
- Dérivées et problème d'optimisation @pesam:6eme_renf_math
- ction pour trouver ses valeurs critiques : \[ d^{\prime}(x)=\frac{2(4-x)(-1)+1}{2 \sqrt{(4-x)^2+x}}=\frac... On cherche les valeurs critiques : on a que \(d^{\prime}(x)=0\) si et seulement si \(2 x-7=0\). La seule
- Exploration du Calcul des Limites des Fonctions Cyclométriques @analyse:fonctions:cyclometriques
- c{\left(\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^\prime}{\left(1/x\right)^\prime} = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\pi x^2}{x^2+\pi^2 } = \pi \] **
- Les théorèmes de Lagrange et de Rolle @analyse:derivees
- f(a)=f(b)=0$, alors \[ \exists c \in ]a,b[ : f^{\prime}(c)=0 \] Le théorème de Rolle est un corollaire d