Table des matières
Calcul du déterminant d'une matrice
Déterminant 2x2 (définition)
$$ \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} $$
Déterminant 3x3
Considérons une matrice composée de 3 lignes et de 3 colonnes.
$$ \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| = ? $$
Définitions préalables
Le mineur d'un élément $a_{ij}$, noté $M_{ij}$, est le déterminant obtenu en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ (ligne et colonne dans lesquelles se trouve l'élément $a_{ij}$) dans le tableau donné. Exemple : le mineur de l'élément $a_{23}$ est :
$$ M_{23} = \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| $$
Le cofacteur d'un élément $a_{ij}$, noté $A_{ij}$, est donné par la formule : $$ A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $$
Propriété préalable à la définition de déterminant
La somme des produits des éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteur respectif est une constante. Cette constante est appelée déterminant de la matrice. Par exemple, si nous développons suivant la deuxième ligne :
$$ \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| = a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} $$
Remarque : Pour calculer le déterminant, la ligne ou la colonne suivant laquelle nous développons est laissée à notre choix. Nous pouvons donc choisir celle qui contient le plus d'éléments nuls (s'il y en a) ou en faire apparaître à l'aide des propriétés suivantes.
Propriétés facilitant le calcul d'un déterminant
Lorsqu'on multiplie les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par un facteur commun, le déterminant est multiplié par ce facteur. Conséquence : On peut mettre en évidence un facteur commun à tous les éléments d'une ligne ou colonne. Exemple : $$ \left| \begin{array}{ccc} a-1 & 2 & a^2 \\ 3 & a & 0 \\ a+2 & 2a & a^3 \end{array} \right| = a^2 \left| \begin{array}{ccc} a-1 & 2 & 1 \\ 3 & a & 0 \\ a+2 & 2a & a \end{array} \right| $$
Lorsqu'on ajoute à une rangée une combinaison linéaire (somme de multiples) des rangées parallèles, la valeur du déterminant ne change pas.
En pratique : On emploie cette propriété pour faire apparaître des éléments nuls dans la matrice et ainsi faciliter le calcul du déterminant.
Exemple : Reprenons le déterminant ci-dessus. La troisième colonne contient déjà un zéro. Nous allons en faire apparaître un autre à la place de l'élément $a_{33}$. Il suffit de multiplier la première ligne par $-a$ et de l'ajouter à la troisième. On obtient :
\begin{align} \left| \begin{array}{ccc} a-1 & 2 & a^2 \\ 3 & a & 0 \\ a+2 & 2a & a^3 \end{array} \right| &= a^2 \left| \begin{array}{ccc} a-1 & 2 & 1 \\ 3 & a & 0 \\ a+2 - a(a-1) & 2a - 2a & a - a \end{array} \right| \\ &= a^2 \left| \begin{array}{ccc} a-1 & 2 & 1 \\ 3 & a & 0 \\ -a^2 + 2a + 2 & 0 & 0 \end{array} \right| \\ &= a^2 \cdot 1 \cdot (-1)^{1+3} \left| \begin{array}{cc} 3 & a \\ -a^2 + 2a + 2 & 0 \end{array} \right| \\ &= a^2 \left( 3 \cdot 0 - a(-a^2 + 2a + 2) \right) = a^3 \left(a^2 - 2a - 2 \right) \end{align}
Nous avons effectué le calcul du déterminant en développant suivant la troisième colonne car elle contient deux zéros. Le développement suivant la troisième ligne était également un choix intéressant.
Déterminants 4x4, 5x5, etc.
Ils se définissent de la même façon et jouissent des mêmes propriétés.
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