Table des matières
Fonction réciproque
Introduction
Nous allons approfondir notre compréhension des fonctions continues. Pour déterminer si une fonction continue est injective, nous devons examiner sa monotonie sur son domaine. Une fonction continue qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur un intervalle est injective sur cet intervalle, car à chaque élément distinct du domaine correspond un élément distinct de l'ensemble d'arrivée.
Une fois établi qu'une fonction est injective, elle est aussi bijective sur son image, et donc elle admet une fonction réciproque. Cette fonction réciproque 'inverse' la fonction originale, permettant de retrouver l'élément original du domaine à partir de son image. Comprendre ces notions est crucial pour aborder les fonctions cyclométriques et logarithmiques.
Dans l'étude des fonctions continues, la monotonie et l'injectivité jouent des rôles clés pour aborder les fonctions réciproques.
Définitions
- Une fonction \(f\) est dite monotone sur un intervalle si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur cet intervalle. La monotonie d'une fonction continue peut être vérifiée en étudiant le signe de sa dérivée.
- Une fonction est injective si, à chaque élément différent du domaine, correspond un élément différent de l'ensemble d'arrivée. Pour une fonction continue, la monotonie sur un intervalle implique l'injectivité sur cet intervalle.
Pour une fonction $f$ continue (critère important !) sur $E \subseteq \text{dom }f$
- La réciproque de la fonction $f$ de E vers F est la relation de F vers E qui à tout élément $y$ de F fait correspondre le ou les antécédents de $y$ par la fonction $f$.
Remarquons que dans la définition, on spécifie que la réciproque de $f$ est une relation car en général, elle n'est pas une fonction. - La fonction $f$ doit être monotone sur E pour qu'elle admette une réciproque fonctionnelle (une réciproque qui est une fonction)
Lien entre les graphiques de fonctions réciproques
- Si le point $P(a,b)$ est un point du graphe cartésien de $f$ alors le point $P'(b,a)$ est un point du graphe cartésien de la réciproque de $f$.
- Dans un repère orthonormé les points $P(a,b)$ et $P'(b,a)$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.
- Dans un repère orthonormé, le graphe cartésien d'une fonction $f$ et le graphe cartésien de la réciproque de cette fonction, sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite d'équation $y=x$.
- Lorsque la réciproque d'une fonction n'est pas une fonction, on peut en général restreindre le domaine de définition de la fonction $f$ afin que la réciproque de cette restriction soit une fonction.
- Dans l'équation du graphe de $f$, on remplace $x$ par $y$ et $y$ par $x$. Pour obtenir l'équation du graphe de la réciproque de $f$, il suffit d'exprimer $y$ en fonction de $x$.
Fonction injective et réciproque fonctionnelle
- Si $f$ est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle $E$, alors $f$ est injective sur $E$.
- Par définition on dit qu'une fonction est injective (voir aussi Injections, surjections, bijections) si pour tout $x,x' \in E$, si $f(x)=f(x')$ alors $x=x'$. Autrement dit tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au plus un ($0$ ou $1$) antécédent.
- Test de la droite horizontale : $f$ est injective si et seulement si son graphe intercepte toute droite horizontale en au plus un point.
- Une fonction $f$ continue et injective sur $E \subseteq \text{dom } f$ admet une réciproque fonctionnelle noté $f^{-1}$
- ne pas confondre $f^{-1}$ avec $\frac{1}{f}$.
- Une fonction discontinue qui est injective n'est pas forcément monotone.
Théorème des fonctions réciproques
Soit \(f\) une fonction continue strictement monotone sur un intervalle \(I\). Alors
- \(f(I)\) est un intervalle \(J\) de même nature que \(I\) (fermé, ouvert ou semi ouvert) et ses extrémités sont les limites de \(f\) aux extrémités de \(I\).
- La fonction \(f\) admet une fonction réciproque définie sur \(J=f(I)\); plus précisément, \(f\) définit une bijection de l'intervalle \(I\) sur l'intervalle \(J\), donc il existe une fonction notée \(f^{-1}\) de \(J\) dans \(I\), telle que :
- \(x \in I\) et \(y=f(x)\)
- \(y \in J\) et \(x=f^{-1}(y)\)
- La fonction réciproque \(f^{-1}\) est continue et strictement monotone sur \(J\), de même sens de monotonie que \(f\).
- De plus, si \(f\) est dérivable en un point \(x_0\) de \(I\) et si \(f'(x_0)\) est non nul, \(f^{-1}\) est dérivable au point \(y_0=f(x_0)\) et \[\left(f^{-1}\right)'\left(y_0\right)=\frac{1}{f'\left(x_0\right)}=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(y_0\right)\right)}\]
Méthode
L'étude de la monotonie d'une fonction et l'identification des intervalles sur lesquels la fonction est injective sont essentielles pour restreindre le domaine de la fonction de manière à ce qu'elle admette une réciproque fonctionnelle.
Restriction du Domaine
Pour qu'une fonction \(f\) admette une réciproque fonctionnelle, elle doit être injective sur son domaine ou une partie de son domaine. En étudiant la monotonie de \(f\), on peut identifier les intervalles où \(f\) est injective. Souvent, on doit alors restreindre le domaine de la fonction à ces intervalles pour assurer l'injectivité et donc la bijectivité sur son image.
La fonction \(\bbox[#FED8B1,5px] { f : \mathbb R \to \mathbb R ; x \mapsto \dfrac{x^{2}}{x^{2}-1} }\) n'est pas injective sur son domaine \(\mathbb{R} \setminus \{-1,1\} \) car \( f(2) = \dfrac{4}{3} \) et \( f(-2) = \dfrac{4}{3} \) (limpide, la fonction est paire)
Donc, \( f \) n'est pas injective car elle prend la même valeur pour deux \( x \) différents dans son domaine.
De plus, la fonction \( f(x) = \dfrac{x^{2}}{x^{2}-1} \) n'est pas définie en \( x = 1 \) et \( x = -1 \), cela introduit des discontinuités en ces points.
Discontinuités de la fonction : La fonction \( f \) a des discontinuités en \( x = 1 \) et \( x = -1 \). Cela signifie que nous devons choisir un intervalle qui n'inclut pas ces points de discontinuité.
Identification des intervalles d'injectivité
À travers l'étude de la monotonie et le tableau de variations, on peut identifier les intervalles où la fonction est strictement monotone (croissante ou décroissante) et, par conséquent, injective. La restriction de la fonction à ces intervalles assure l’existence d’une réciproque fonctionnelle.
Monotonie et choix de l'intervalle : Pour étudier la monotonie, on calcule la dérivée de \(f(x)\) par rapport à \(x\).
\[ f'(x) = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^{2}}{x^{2}-1}\right) \]
En utilisant la règle de la dérivée du quotient, nous obtenons :
\[ f'(x) = \dfrac{2x(x^2-1) - x^2(2x)}{(x^2-1)^2} \] \[ = \dfrac{2x^3-2x - 2x^3}{(x^2-1)^2} \] \[ = \bbox[lightgreen,5px] {\dfrac{-2x}{(x^2-1)^2}} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & & -1 & & 0 & & 1 & \\ \hline \bbox[lightgreen,5px] {f'(x)} & + & || & + & 0 & - & || & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{AV} & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{AV} & \searrow\\ \hline \end{array} \]
Ainsi, en excluant les points de discontinuité, \( x = 1 \) et \( x = -1 \), nous pouvons restreindre le domaine de \( f \) à l'un de ces intervalles pour garantir à la fois la continuité et l'injectivité.
- \( ]-\infty, -1[ \) : Sur cet intervalle, la fonction est continue et croissante, donc injective.
- \( ]-1, 0] \) : Sur cet intervalle, la fonction est continue et croissante, donc injective.
- \( [0, 1[ \) : Sur cet intervalle, la fonction est continue et décroissante, donc injective.
- \( ]1, +\infty[ \) : Sur cet intervalle, la fonction est continue et décroissante, donc également injective.
Construction de la Réciproque Fonctionnelle
Une fois le domaine de la fonction originale restreint à un intervalle où elle est injective, on peut construire sa fonction réciproque. Si la fonction originale, sur cet intervalle restreint, est notée \(f: E \rightarrow F\), alors la réciproque est une fonction \(f^{-1}: F \rightarrow E\).
Pour déterminer la fonction réciproque :
a) S'assurer que la fonction initiale est injective sur l'intervalle concerné.
on choisit \(\bbox[pink,5px] {E = ]-\infty;-1[}\) où la fonction est stricement croissante (on aurait pu prendre un des trois autres intervalles … un choix, c'est un choix !)
b) Écrire \( y = f(x) \). \[\bbox[pink,5px] {y=\dfrac{x^{2}}{x^{2}-1}}\]
c) Échanger \( x \) et \( y \). \[\bbox[pink,5px] {x=\dfrac{y^{2}}{y^{2}-1}}\]
d) Isoler \( y \) dans cette équation. \[\bbox[pink,5px] {\begin{aligned}x=\dfrac{y^{2}}{y^{2}-1} &\iff x\left(y^{2}-1\right)=y^{2}\\ &\iff x y^{2}-x=y^{2}\\ &\iff x y^{2}-y^{2}=x\\ &\iff y^{2}(x-1)=x \\ &\iff y^{2}=\dfrac{x}{x-1}\end{aligned}}\]
Deux expressions sont possibles lorsqu'il s'agit d'isoler $y$ : \[\bbox[pink,5px] {y=\pm \sqrt{\dfrac{x}{x-1}}}\]
Comme \( f \ : \ ]-\infty;-1[ \to \mathbb R \ ; \ x \mapsto \dfrac{x^{2}}{x^{2}-1} \), on trouve : \[f^{-1} : \mathbb R \to ]-\infty;-1[ \ ; \ x \mapsto -\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}\]
La fonction \( f \) étant définie et injective sur l'intervalle \( ]-\infty;-1[ \), sa réciproque, \( f^{-1} \), renvoie des valeurs uniquement dans cet intervalle. Par conséquent, la racine carrée négative a été choisie pour assurer la cohérence des domaines et images entre \( f \) et \( f^{-1} \).
Il faut rechercher l'ensemble \( F \) qui est l'ensemble image de la fonction \( f \).
On pourrait se contenter de rechercher le domaine de \( f^{-1} \), mais il serait trop grand ! \[\dfrac{x}{x-1}\geq 0 \iff x \in [-\infty, 0] \cup ]1, +\infty[\]
Pour être précis et éviter tout chevauchement ou intervalle inutile, il est essentiel de déterminer l'ensemble image \( F \) de la fonction \( f \) en utilisant l'intervalle \( E \). C'est en trouvant l'image de \( E \) par \( f \) que l'on obtient exactement où la fonction réciproque \( f^{-1} \) prendra ses valeurs. En d'autres termes, on doit déterminer les valeurs exactes que \( f \) atteindra lorsque \( x \) varie dans l'intervalle \( ]-\infty;-1[ \). Cela garantira que \( f^{-1} \) a un domaine approprié correspondant à cet ensemble image \( F \).
Pour déterminer \(F=f(]-\infty;-1[)\), nous utilisons la continuité et la stricte monotonie de \(f\) sur l'intervalle \(]-\infty;-1[\).
Continuité et Monotonie :
La continuité de \(f\) garantit que l'intervalle \(]-\infty;-1[\) est transformé en un intervalle continu par \(f\). De plus, comme \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle, cela signifie que la plus petite valeur de \(f\) sur \(]-\infty;-1[\) est atteinte à l'extrémité gauche, c'est-à-dire à \(x \to -\infty\), et la plus grande valeur est atteinte à l'extrémité droite, c'est-à-dire à \(x \to -1\).
Calcul des limites : \[\begin{aligned} f(]-\infty;-1[) &= ]\lim_{x \to -\infty} f(x);\lim_{x \to -1^-} f(x)[ \quad \text{(d'après la continuité et la stricte croissance)}\\ &= ]\lim_{x \to -\infty} \tfrac{x^{2}}{x^{2}-1};\lim_{x \to -1^-} \tfrac{x^{2}}{x^{2}-1}[\\ &= ]1;+\infty[ \end{aligned}\]
Conclusion : L'intervalle image de \(E=]-\infty;-1[\) par \(f\) est donc \(F=]1;+\infty[\).
Finalement : \( \bbox[#ADD8E6,5px] {f \ : \ ]-\infty;-1[ \to ]1;+\infty[ \ ; \ x \mapsto \dfrac{x^{2}}{x^{2}-1}}\) et \(\bbox[#ADD8E6,5px] {f^{-1} : ]1;+\infty[ \to ]-\infty;-1[ \ ; \ x \mapsto -\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}}\)
Application
Dans le contexte des fonctions réelles, cette approche est souvent utilisée pour trouver les réciproques fonctionnelles de fonctions telles que les fonctions trigonométriques, logarithmiques et exponentielles, en restreignant judicieusement leurs domaines.
Résumé
En restreignant le domaine de la fonction à des intervalles où elle est monotone (et donc injective), on peut s'assurer de l’existence de réciproques fonctionnelles. Cette méthode est fondamentale pour travailler avec des fonctions qui, sur leurs domaines naturels, ne sont pas bijectives, et permet d'étendre l'applicabilité des fonctions en mathématiques.
Soit $f$ une bijection d'un intervalle $I$ de $\mathbb R$ sur un intervalle $J$ de $\mathbb R$ et $f^{-1}$ son application réciproque.
- $\forall x\in I,\, f^{-1}\left(f(x)\right)=x$ et $\forall y\in J,\,f\left(f^{-1}(y)\right)=y$, c'est-à-dire : $$f^{-1}\circ f=id_I \, \text{ et } \, f\circ f^{-1}=id_J$$
- Dans un repère orthonormé, $C_f$ et $C_{f^{-1}}$ sont des courbes symétriques l'une de l'autre par rapport à la première bissectrice des axes.
- Si $f$ est monotone sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$, la réciproque est vraie. La fonction $f^{-1}$ est alors monotone et continue sur $J$ avec une monotonie identique à celle de $f$.
- Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'$ ne s'annule pas sur $I$ alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et : $$\forall x\in J,\, \left(f^{-1}\right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$$ ou encore : $$\left(f^{-1}\right)'=\frac1{f'\circ f^{-1}}$$
Définitions :
- $f$ étant une bijection de $I$ sur $J$, intervalles de $\mathbb R$, si $f$ et $f^{-1}$ sont continues on dit que $f$ est un homéomorphisme de $I$ sur $J$ et que les intervalles $I$ et $J$ sont homéomorphes.
- $f$ étant une bijection de $I$ sur $J$, intervalles de $\mathbb R$, si $f$ et $f^{-1}$ sont dérivables et si $f'$ et ${f^{-1}}'$ sont des fonctions continues on dit que $f$ est un difféomorphisme de $I$ sur $J$.
Marche à suivre pour déterminer \( f^{-1} \)
- Vérifier que \( f \) est une fonction bijective partout dans son domaine de définition.
- Résoudre l'équation \( y = f(x) \) par rapport à \( x \), pour obtenir une fonction de la forme \( x = f^{-1}(y) \).
- Vérifier les conditions figurant dans le théorème sur les fonctions réciproques.
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