Le calcul intégral

Historiquement développé par Newton et Leibniz au XVIIᵉ siècle, le calcul intégral est étroitement lié au calcul différentiel, avec lequel il forme le calcul infinitésimal. Le théorème fondamental de l’analyse établit le lien entre intégration et dérivation : il affirme que l’intégrale d’une fonction peut être interprétée comme l’inverse de la dérivation.

L’intégrale peut être définie de deux manières principales :

L’intégrale définie, qui donne une valeur numérique et représente, sous certaines conditions, l’aire sous une courbe entre deux bornes.
L’intégrale indéfinie, qui correspond à l’ensemble des primitives d’une fonction et inclut une constante d’intégration.

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Définition : Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ définie et dérivable sur $I$ telle que $F'=f$.

Exemple : Soit $f : x \mapsto 2x$ définie sur $\mathbb{R}$. Alors $F_1 : x \mapsto x^2$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. De même, $F_2 : x \mapsto x^2 + 1$ est aussi une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. On a $F_1' = F_2' = f$.

Remarque : On dit que $F$ est une primitive de $f$ et non pas la primitive de $f$ car une fonction admettant une primitive n'en admet pas une seule, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Primitives des fonctions usuelles (avec $ C \in \mathbb{R} $ une constante réelle)

Fonction	Primitives	Domaine
$ x^n$ avec $n \in \mathbb{N} $	$ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $	$ \mathbb{R} $
$ \frac{1}{x^n}$ avec $n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\} $	$ -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C $	$ ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ $
$ \frac{1}{x} $	$ \ln\|x\| + C $	$ \mathbb{R}_0 $
$ \frac{1}{\sqrt{x}} $	$ 2\sqrt{x} + C $	$ ]0, +\infty[ $
$ \mathbf{e}^x $	$ \mathbf{e}^x + C $	$ \mathbb{R} $
$ \cos(x) $	$ \sin(x) + C $	$ \mathbb{R} $
$ \sin(x) $	$ -\cos(x) + C $	$ \mathbb{R} $
$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $	$ \arcsin x $	$ ]-1,1[ $
$ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} $	$ \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) $	$ ]-1,1[ $
$ \frac{1}{1+x^2} $	$ \arctan x $	$ \mathbb{R} $
$ \frac{1}{a^2+x^2}, a\neq 0 $	$ \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) $	$ \mathbb{R} $

code source

notation.tex

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{lipsum,bigints} % Cela peut être supprimé si vous n'utilisez pas lipsum dans le document standalone
\usetikzlibrary{arrows.meta, positioning, tikzmark}
\tikzset{
  is/.style = {inner ysep=3pt, fill=gray!15},
  blk/.style = {inner ysep=3pt},
  arr/.style = {-Straight Barb},
  brr/.style = {Straight Barb-Straight Barb},
  N/.style = {draw= red, fill=yellow!15, font=\footnotesize, text=blue},
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[
  node distance = 4mm and 2mm,
  remember picture
]
\node (S) at (0,0) {\tikzmarknode[is]{S}{\(\bigintsss\)}};
\node[right=of S,xshift=-4mm] (A) {\tikzmarknode[blk]{A}{\(f(x)\)}};
\node[right=of A,xshift=-4mm] (B) {\(\tikzmarknode[is]{B}{dx}\)};
\node[right=of B,xshift=-4mm] (C) {\(=\tikzmarknode[blk]{C}{F(x)}+\)};
\node[right=of C,xshift=-4mm] (D) {\(\tikzmarknode[blk]{D}{C}\)};
%\node (a) [N,below left =of A]  {Intégrande};
\node (b) [N,below left=of B]  {Différentielle en $x$};
\node (dx) [N,below =of b]  {Variation infinitésimale de la variable x};
%\node (c) [N,above left =of C]  {Primitive principale de \(f(x)\)};
%\node (d) [N,above right=of D]  {Constante d'intégration};
\node (s) [N,left=of S,xshift=-.5cm]  {Signe d'intégration};
%\draw[arr]  (a) -| (A);
\draw[arr]  (b) -| (B);
%\draw[arr]  (c) -| (C);
%\draw[arr]  (d) -| (D);
\draw[arr]  (s) -- (S);
\draw[brr]  (b) -- (dx);
\end{tikzpicture}
\end{document}

$ \displaystyle \int \mathrm{d}x = \int 1 \mathrm{d}x = x+k $
$ \displaystyle \int x^n \mathrm{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + k $ \quad avec $ k\neq-1 $
$ \displaystyle \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln\left| x \right|+k $
$ \displaystyle \int \mathbf{a}^x \mathrm{d}x = \frac{\mathbf{a}^x}{\ln(\mathbf{a})}+C $
$ \displaystyle \int \mathbf{e}^x \mathrm{d}x = \mathbf{e}^x + C $
$ \displaystyle \int \sin x \mathrm{d}x = - \cos x + C $
$ \displaystyle \int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C $
$ \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \mathrm{d}x = \tan x + C $
$ \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x = - \cot x + k $
$ \displaystyle \int \tan x \mathrm{d}x = - \ln | \cos x | +C $
$ \displaystyle \int \cot x \mathrm{d}x = \ln | \sin x | + C $
$ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \cdot \arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C $

Les propriétés de linéarité de l'intégrale indiquent que l'intégration conserve l'addition et la multiplication par un réel, ce qui permet de simplifier les calculs en décomposant les expressions.

$ \displaystyle \int f(x) \pm g(x) \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x \pm \int g(x) \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \lambda \cdot f(x) \mathrm{d}x = \lambda \int f(x) \mathrm{d}x $

Les propriétés des intégrales définies sont essentielles pour simplifier les calculs d'intégration et pour comprendre la théorie sous-jacente. Voici quelques propriétés clés :

Linéarité : Pour toutes fonctions intégrables $ f $ et $ g $, et tous réels $ a $, $ b $ et $ c $ :

\[ \int_{a}^{b} \left(\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)\right)\mathrm{d}x = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x + \beta \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x. \]

Intervalle nul : Pour toute fonction intégrable $ f $, on a \[ \int_{a}^{a} f(x)\mathrm{d}x = 0. \]

Additivité de l'intervalle : *Relation de Chasles* Pour toutes fonctions intégrables $ f $, et tout $ c $ entre $ a $ et $ b $ : \[ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x. \]

Inversion des bornes : Pour toute fonction intégrable $ f $, on a \[ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = -\int_{b}^{a} f(x)\mathrm{d}x. \]

Inégalité de l'intégrale : Si $ f(x) \geq g(x) $ pour tout $ x $ dans $ [a, b] $, alors : \[ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x \geq \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x. \]

Valeur absolue : Pour toute fonction intégrable $ f $, on a $ \displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x\right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)|\mathrm{d}x. $

Parité : Enfin, nous avons une propriété sur l'intégrale définie de fonctions paires et impaires sur un intervalle de la forme $ [-a; a] $.
- Pour les fonctions paires, c'est-à-dire vérifiant $ f(-x) = f(x) $, nous avons \[\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d}x. \]
- Pour les fonctions impaires, c'est-à-dire vérifiant $ f(-x) = -f(x) $, nous avons \[\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 0. \]

Pour calculer une intégrale définie $\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x $, on recherche d'abord l'intégrale indéfinie (ou primitive) $ F(x) $ puis on calcule $ F(b)-F(a) $.

Le nombre (positif ou négatif) obtenu est $ \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x $. On notera aussi $ F(b)-F(a) $ par $ \displaystyle F(x) \big|_{a}^{b} $.

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal.

L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine situé entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

Autre configuration : changement de signe de la fonction

\[ \text{Aire hachurée} = - \int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x \]

Source Latex :

airehachuree.tex

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{patterns}
\begin{document}
\def\a{-.3}
\def\x{2.4}
\def\b{5.7}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel={},
xlabel style={
%yshift=+7pt, 
%xshift=3cm,  % Décale l'étiquette vers la droite (si nécessaire)
},
xtick=\empty,ytick=\empty,
ylabel={},
height=4cm,
width=0.8\linewidth,
enlargelimits=true,
enlarge x limits={abs=3mm}, 
enlarge y limits={abs=1mm}, 
extra x ticks={\a,\x,\b},
extra x tick style={grid=major,
tick label style={
rotate=0,anchor=north east},yshift=0mm},
extra x tick labels={$a$,\color{red} $c$,$b$},
]
\addplot[red, thick, smooth, domain=\a:\x, pattern=north east lines, pattern color=lightgray] {(x^2+1-x^3/8)/5-1}\closedcycle;
\addplot[red, thick, smooth, domain=\x:\b, pattern=north east lines, pattern color=lightgray] {(x^2+1-x^3/8)/5-1}\closedcycle;
\addplot[black, ultra thick, smooth, domain=-1:7] {(x^2+1-x^3/8)/5-1} node[above] {$\mathcal{C}_f$};
%\node[fill=white, inner sep=0pt] at (axis cs:2.5,.35) {\(F(x)\)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

La valeur moyenne d'une fonction $ f $ continue sur $ [a;b] $ est \[ \mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \]

Source Latex :

airehachuree.tex

\documentclass[tikz,border=5pt]{standalone}
\usetikzlibrary{arrows.meta, intersections, backgrounds, shapes.geometric, positioning, arrows.meta, positioning, tikzmark, patterns}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}
\usepgfplotslibrary{fillbetween}
\begin{document}
\pgfmathdeclarefunction{poly}{0}{%
\pgfmathparse{-x^3+5*(x^2)-3*x-3}%
}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=.5]
\begin{axis}[
xmin=-2,
xmax=5,
ymin=-5,
ymax=10,
axis y line=left,
axis x line=bottom,
xtick={-1.2,2,4.2},
xticklabels={$a$,$c$,$b$},
ytick={3},
yticklabels={$\mu=f(c)$},
samples=160
]
\addplot[name path=poly,black,thick,mark=none,domain=-1.2:4.2,stack plots=y,color=black,very thick] {poly} node[right] {$\mathcal{C}_f$};
\addplot[name path=line,gray,no markers,line width=1pt,domain=-1.2:4.2,color=red] {3};
\addplot fill between[ 
of = poly and line, 
split, % calculate segments
every even segment/.style = {pattern=north east lines, pattern color=lightgray},
every odd segment/.style  ={pattern=north east lines, pattern color=lightgray}
];
\draw[help lines] (axis cs:-1.2,-5) -- (axis cs:-1.2,3);
\draw[help lines] (axis cs:2,-5) -- (axis cs:2,3);
\draw[help lines] (axis cs:4.2,-5) -- (axis cs:4.2,3);
\draw[help lines] (-2,3) -- (-1.2,3);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Fonction	Primitives	Domaine
\( x^n\) avec \(n \in \mathbb{N} \)	\( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)	\( \mathbb{R} \)
\( \frac{1}{x^n}\) avec \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\} \)	\( -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C \)	\( ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \)
\( \frac{1}{x} \)	\( \ln\|x\| + C \)	\( \mathbb{R}_0 \)
\( \frac{1}{\sqrt{x}} \)	\( 2\sqrt{x} + C \)	\( ]0, +\infty[ \)
\( \mathbf{e}^x \)	\( \mathbf{e}^x + C \)	\( \mathbb{R} \)
\( \cos(x) \)	\( \sin(x) + C \)	\( \mathbb{R} \)
\( \sin(x) \)	\( -\cos(x) + C \)	\( \mathbb{R} \)
\( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)	\( \arcsin x \)	\( ]-1,1[ \)
\( \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \)	\( \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) \)	\( ]-1,1[ \)
\( \frac{1}{1+x^2} \)	\( \arctan x \)	\( \mathbb{R} \)
\( \frac{1}{a^2+x^2}, a\neq 0 \)	\( \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) \)	\( \mathbb{R} \)

Le calcul intégral

Primitives d'une fonction

Formules de Primitives

Intégrales indéfinies

Formulaire

Opérations

Intégrales définies

Méthode pour calculer une intégrale définie

Calcul d'aire

Formule de la moyenne