Le calcul intégral
Historiquement développé par Newton et Leibniz au XVIIᵉ siècle, le calcul intégral est étroitement lié au calcul différentiel, avec lequel il forme le calcul infinitésimal. Le théorème fondamental de l’analyse établit le lien entre intégration et dérivation : il affirme que l’intégrale d’une fonction peut être interprétée comme l’inverse de la dérivation.
L’intégrale peut être définie de deux manières principales :
- L’intégrale définie, qui donne une valeur numérique et représente, sous certaines conditions, l’aire sous une courbe entre deux bornes.
- L’intégrale indéfinie, qui correspond à l’ensemble des primitives d’une fonction et inclut une constante d’intégration.
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Primitives d'une fonction
Définition : Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ définie et dérivable sur $I$ telle que $F'=f$.
Exemple : Soit $f : x \mapsto 2x$ définie sur $\mathbb{R}$. Alors $F_1 : x \mapsto x^2$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. De même, $F_2 : x \mapsto x^2 + 1$ est aussi une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. On a $F_1' = F_2' = f$.
Remarque : On dit que $F$ est une primitive de $f$ et non pas la primitive de $f$ car une fonction admettant une primitive n'en admet pas une seule, comme le montre l'exemple ci-dessus.
Formules de Primitives
Primitives des fonctions usuelles (avec \( C \in \mathbb{R} \) une constante réelle)
Fonction | Primitives | Domaine |
---|---|---|
\( x^n\) avec \(n \in \mathbb{N} \) | \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) | \( \mathbb{R} \) |
\( \frac{1}{x^n}\) avec \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\} \) | \( -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C \) | \( ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \) |
\( \frac{1}{x} \) | \( \ln|x| + C \) | \( \mathbb{R}_0 \) |
\( \frac{1}{\sqrt{x}} \) | \( 2\sqrt{x} + C \) | \( ]0, +\infty[ \) |
\( \mathbf{e}^x \) | \( \mathbf{e}^x + C \) | \( \mathbb{R} \) |
\( \cos(x) \) | \( \sin(x) + C \) | \( \mathbb{R} \) |
\( \sin(x) \) | \( -\cos(x) + C \) | \( \mathbb{R} \) |
\( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) | \( \arcsin x \) | \( ]-1,1[ \) |
\( \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \) | \( \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) \) | \( ]-1,1[ \) |
\( \frac{1}{1+x^2} \) | \( \arctan x \) | \( \mathbb{R} \) |
\( \frac{1}{a^2+x^2}, a\neq 0 \) | \( \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) \) | \( \mathbb{R} \) |
Intégrales indéfinies
Formulaire
- \( \displaystyle \int \mathrm{d}x = \int 1 \mathrm{d}x = x+k \)
- \( \displaystyle \int x^n \mathrm{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + k \) \quad avec \( k\neq-1 \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln\left| x \right|+k \)
- \( \displaystyle \int \mathbf{a}^x \mathrm{d}x = \frac{\mathbf{a}^x}{\ln(\mathbf{a})}+C \)
- \( \displaystyle \int \mathbf{e}^x \mathrm{d}x = \mathbf{e}^x + C \)
- \( \displaystyle \int \sin x \mathrm{d}x = - \cos x + C \)
- \( \displaystyle \int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \mathrm{d}x = \tan x + C \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x = - \cot x + k \)
- \( \displaystyle \int \tan x \mathrm{d}x = - \ln | \cos x | +C \)
- \( \displaystyle \int \cot x \mathrm{d}x = \ln | \sin x | + C \)
- \( \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \cdot \arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C \)
Opérations
Les propriétés de linéarité de l'intégrale indiquent que l'intégration conserve l'addition et la multiplication par un réel, ce qui permet de simplifier les calculs en décomposant les expressions.
- \( \displaystyle \int f(x) \pm g(x) \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x \pm \int g(x) \mathrm{d}x \)
- \( \displaystyle \int \lambda \cdot f(x) \mathrm{d}x = \lambda \int f(x) \mathrm{d}x \)
Intégrales définies
Les propriétés des intégrales définies sont essentielles pour simplifier les calculs d'intégration et pour comprendre la théorie sous-jacente. Voici quelques propriétés clés :
- Linéarité : Pour toutes fonctions intégrables \( f \) et \( g \), et tous réels \( a \), \( b \) et \( c \) :
\[ \int_{a}^{b} \left(\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)\right)\mathrm{d}x = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x + \beta \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x. \]
- Intervalle nul : Pour toute fonction intégrable \( f \), on a \[ \int_{a}^{a} f(x)\mathrm{d}x = 0. \]
- Additivité de l'intervalle : *Relation de Chasles* Pour toutes fonctions intégrables \( f \), et tout \( c \) entre \( a \) et \( b \) : \[ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x. \]
- Inversion des bornes : Pour toute fonction intégrable \( f \), on a \[ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = -\int_{b}^{a} f(x)\mathrm{d}x. \]
- Inégalité de l'intégrale : Si \( f(x) \geq g(x) \) pour tout \( x \) dans \( [a, b] \), alors : \[ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x \geq \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x. \]
- Valeur absolue : Pour toute fonction intégrable \( f \), on a \( \displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x\right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)|\mathrm{d}x. \)
- Parité : Enfin, nous avons une propriété sur l'intégrale définie de fonctions paires et impaires sur un intervalle de la forme \( [-a; a] \).
- Pour les fonctions paires, c'est-à-dire vérifiant \( f(-x) = f(x) \), nous avons \[\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d}x. \]
- Pour les fonctions impaires, c'est-à-dire vérifiant \( f(-x) = -f(x) \), nous avons \[\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 0. \]
Méthode pour calculer une intégrale définie
Pour calculer une intégrale définie \(\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \), on recherche d'abord l'intégrale indéfinie (ou primitive) \( F(x) \) puis on calcule \( F(b)-F(a) \).
Le nombre (positif ou négatif) obtenu est \( \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \). On notera aussi \( F(b)-F(a) \) par \( \displaystyle F(x) \big|_{a}^{b} \).
Calcul d'aire
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal.
L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine situé entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.