Table des matières

Exercices concernant la fonction exponentielle népérienne

\(\newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\Sol}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)

Définition du nombre d'Euler

Exercice 1 : Calculer la valeur exacte des limites suivantes par le biais de la définition du nombre d'Euler.

n° 1.1 :

$\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^ {2n} $

Solution

Solution

$\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^ {2n} = \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\frac{1}{n} \right) ^ {n}\right) ^2 = \left( \lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^ {n}\right) ^2 = \mathbf{e}^2 $

n° 1.2 :

$\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n$

Solution

Solution

\begin{align} \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n = \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2\cdot\frac{n}{2}} &= \Par{\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}} }^2 \\ &\stackrel{\mathbf{[n=2m]}}{=} \Par{\lim\limits_{m \to +\infty}\left(1+\frac{1}{{m}} \right)^{m}}^2 = \mathbf{e}^2 \end{align}

n° 1.3 :

$\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1 - \frac{2}{n}\right)^n$

Solution

Solution

$ \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1 - \frac{2}{n}\right)^n \stackrel{\mathbf{[h=-\frac2n]}}{=} \lim\limits_{h \to 0}\left(1+h\right)^{-\frac{2}{h}} = \Par{\lim\limits_{h \to 0}\left(1+h\right)^{\frac1h}}^{-2} = \mathbf{e}^{-2}=\frac{1}{\mathbf{e}^2}$

n° 1.4 :

$\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3n}$

Solution

Solution

$\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3n} = \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n} \right)^{6\cdot \frac{n}{2}} =\mathbf{e}^6$

n° 1.5 :

$\lim\limits_{h \to 0} \Big( 1+2h \Big) ^ {{\frac1h}} $

Solution

Solution

$\begin{aligned}[t] \lim\limits_{h \to 0} \Big( 1+2h \Big) ^ frac1h = \lim\limits_{h \to 0} \left( 1+2h \right) ^ {\frac{2}{2h}} &= \left( \lim\limits_{h \to 0} \left( 1+2h \right) ^ {\frac{1}{2h}}\right) ^2 \qquad \text{changement de variable :}t=2h
&= \left( \lim\limits_{t \to 0} \left( 1+t \right) ^ {\frac{1}{t}}\right) ^2= \mathbf{e}^2 \end{aligned}$

n° 1.6 :

$\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\frac{n+3}{n}\right)^n$

Solution

Solution

$ \lim\limits_{n \to +\infty}\left(\frac{n+3}{n}\right)^n =\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n = \Par{\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{\frac{n}{3}}}^{3} = \mathbf{e}^{3} $

Résolution d'équations

Exercice 2 : Résoudre dans $\mathbb{R}$:

  1. $\mathbf{e}\cdot\exp \left(2x\right) = \exp\left(x+2\right)+\exp \left( x \right)- \mathbf{e}$
  2. $\exp \left(2x\right) = \exp\left(x+1\right)+\exp \left( x \right)- \mathbf{e}$
  3. $\mathbf{e}^x+\mathbf{e}^{-x} = \dfrac{\mathbf{e}^2+1}{\mathbf{e}}$

Solution

Solution

  1. $\mathbf{e}\cdot\mathbf{e}^{2x} = \mathbf{e}^{x+2}+\mathbf{e}^{x}- \mathbf{e} \iff \mathbf{e}\cdot\mathbf{e}^{2x} - \left(\mathbf{e}^2+1\right)\cdot \mathbf{e}^{x} + \mathbf{e} = 0 \iff \mathbf{e}^{2x} - \left(\mathbf{e}+\dfrac{1}{\mathbf{e}}\right)\cdot \mathbf{e}^{x} + 1 = 0$
    On pose $y=\mathbf{e}^x$ : $y^2 - \left(\mathbf{e}+\dfrac{1}{\mathbf{e}}\right) y + 1 = 0$
    Somme des racines = $\mathbf{e}+\dfrac{1}{\mathbf{e}}$ et Produit des racines = $1$
    Les racines sont $\dfrac{1}{\mathbf{e}}$ et $\mathbf{e}$, par conséquent $\mathbf{e}^{x}=\dfrac{1}{\mathbf{e}}$ et $\mathbf{e}^{x}=\mathbf{e}$.
    On trouve S=$\left\{-1~;~1\right\}$.
  2. $\mathbf{e}^{2x} = \mathbf{e}^{x+1}+\mathbf{e}^{x}- \mathbf{e} \iff \mathbf{e}^{2x} - \left(\mathbf{e}+1\right) \mathbf{e}^{x} + \mathbf{e} = 0$
    On pose $y=\mathbf{e}^x$ : $y^2 - \left(\mathbf{e}+1\right) y + \mathbf{e} = 0$
    Somme des racines = $\mathbf{e}+1$ et Produit des racines = $\mathbf{e}$
    Les racines sont $1$ et $\mathbf{e}$, par conséquent $\mathbf{e}^{x}=1$ et $\mathbf{e}^{x}=\mathbf{e}$.
    On trouve S=$\left\{0~;~1\right\}$.
  3. laissé au lecteur

Exercice 3 : Résoudre dans \(\mathbb R\)

  1. \( \quad 2^{3^{x}}=3^{2^{x}}\)
  2. \( \quad \sqrt[2 x]{2^{3 x+2}}=\sqrt[3 x]{3^{2 x+3}} \)
  3. \( \quad 15 \cdot 3^{x+1}-243 \cdot 5^{x-2}=0 \)
  4. \( \quad 3^{2 x+2}-3^{x+3}-3^{x}+3=0 \)
  5. \( \quad 2 \cdot \mathbf{e}^{x}-3 \cdot \mathbf{e}^{-x}=1 \)
  6. \( \quad 2\left(\mathbf{e}^{\frac{3}{2} x}-\mathbf{e}^{-\frac{3}{2} x}\right)=\mathbf{e}^{\frac{1}{2} x}+5 \mathbf{e}^{-\frac{1}{2} x}\)

Solution

Solution

Domaine de définition

Exercice 4 : Déterminez les domaines des fonctions suivantes :

  1. \( f(x) = \dfrac{\mathbf{e}^x}{\mathbf{e}^{x+1} - 1} \)
  2. \( f(x) = \sqrt{1 - \mathbf{e}^{2x}} \)
  3. \( f(x) = \dfrac{\mathbf{e}^{x-1}}{\mathbf{e}^{x+2}} \)
  4. \( f(x) = \dfrac{x}{\sqrt[4]{\mathbf{e}^{4x} - 2\mathbf{e}^{2x} + 1}} \)
  5. \( f(x) = \dfrac{\mathbf{e}^x - 1}{\mathbf{e}^{x+1} - \sqrt{\mathbf{e}}} \)
  6. \( f(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\mathbf{e}^{3x} - \mathbf{e}}} \)

Techniques de dérivation

Exercice 5 : Calculer les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes

  1. $f(x)=\mathbf{e}^x+x^2+1$
  2. $f(x)=\dfrac{1}{\mathbf{e}^x}$
  3. $f(x)=\dfrac{\mathbf{e}^{x}}{x}$
  4. $f(x)=5\mathbf{e}^x+5x\mathbf{e}^x$
  5. $f(x)=\mathbf{e}^x\cdot \sin(x)$
  6. $f(x)=\dfrac{\mathbf{e}^x+1}{\mathbf{e}^x-1}$
  7. $f(x)=\dfrac{3x+1-\mathbf{e}^x}{\mathbf{e}^{x}}$
  8. $f(x)=x^3\cdot \mathbf{e}^{-x}$
  9. $f(x)=\dfrac{x^2\mathbf{e}^{x}}{x+1}$
  10. $f(x)=\left(\mathbf{e}^x\right)^2+\dfrac{1}{\mathbf{e}^x}$
  11. $f(x)=\mathbf{e}^{4x+1}$
  12. $f(x)=\mathbf{e}^{-x^2}$
  13. $f(x)=\mathbf{e}^{\cos(x)}$
  14. $f(x)=\mathbf{e}^{5x^3+7x+4}$
  15. $f(x)=(x+1)\mathbf{e}^{-x+1}$
  16. $f(x)=\dfrac{\mathbf{e}^{2x}-1}{x}$

Analyse

Exercice 6 : Vrai ou faux ?

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\mathbf{e}^x-x}=0$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x\mathbf{e}^{-x}-x}=-\infty$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathbf{e}^{2x}-1}{2x}=0$
  4. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left( \mathbf{e}^{\frac{1}{x^2}}-1\right)\times x^2=1$

Exercice 7 : Vrai ou faux ?

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x \cdot\mathbf{e}^{2 x}-1$

  1. f est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime}(x)=(x+1) \mathbf{e}^{2 x}$
  2. f est croissante sur $\left[-\frac{1}{2} ;+\infty\right[$
  3. $\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
  4. $\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$
  5. l'équation $f(x)=-1$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$.

Exercice 8 : Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\left(2 x^{2}-3 x+2\right) \mathbf{e}^{-x+2}$.

  1. Déterminer le domaine de définition. Calculer les limites de $f$ aux bornes du domaine de définition et étudier l'existence d'asymptotes éventuelles.
  2. Démontrer que $f^{\prime}(x)=\left(-2 x^{2}+7 x-5\right) \mathbf{e}^{-x+2}$. Établir le tableau de variation de $f$ en précisant les extrema éventuels.
  3. Calculer la dérivée seconde, établir le tableau de concavité en indiquant les points d'inflexion éventuels.
  4. Tracer le graphe de $f$ dans un repère orthonormé d'unité $1 \mathrm{~cm}$.