Exercices sur les déterminants

Exercice 1 : Calculer les déterminants des matrices

\[A= \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \qquad B=\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \qquad C=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right) \]

Solution

\[ \det \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) =2\times 1-1\times 1=1 \] De même, $$\det \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) =-4$$ et $$\det \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right) =3.$$

Exercice 2 : Déterminer le paramètre $a$ pour que le déterminant de la matrice soit nul.

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \]

Solution

Développons par rapport à la première ligne : \begin{eqnarray*} \det \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) &=&\left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right| -2\left| \begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right| +\left| \begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right| \\ &=&-2(a-1)+a-1 \\ &=&-a+1 \end{eqnarray*} Ainsi le déterminant est nul dès que $a=1.$

Exercice 3 : Existe-t'il $a$ tel que le déterminant de la matrice

\[ \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \end{array} \right) \] soit nul ?

Solution

Développons par rapport à la troisième colonne : \begin{eqnarray*} \det \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \end{array} \right) &=&\left| \begin{array}{cc} a & 0 \\ 1 & a \end{array} \right| -1\left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & a \end{array} \right| \\ &=&a^{2}-(-a-1) \\ &=&a^{2}+a+1 \end{eqnarray*} Le déterminant est nul si et seulement si $a^{2}+a+1=0$. Cherchons les racines de cette équation. Le discriminant est égal à $-3$. Comme il est négatif, le trinôme n'a pas de racines et le déterminant ne s'annule jamais.

Exercice 4 : La matrice suivante est-elle inversible ?

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \] Si oui, l'inverser (utiliser les opérations élémentaires).

Solution

Commonçons à calculer son déterminant. Développons par rapport à la première colonne : \begin{eqnarray*} \det \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) &=&\left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} \right| -1\left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right| \\ &=&1 \end{eqnarray*} La matrice est inversible. Calculons l'inverse par les opérations élémentaires : \[ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) & \begin{array}{c} L_{1} \\ L_{2}-L_{1} \\ L_{3} \end{array} & {\color{red}{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)}} \\ & & \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \begin{array}{c} L_{1} \\ L_{2}-L_{1} \\ L_{3} \end{array} & {\color{blue}{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}} \end{array} \]

\[ \begin{array}{ccc} {\color{red}{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)}} & \begin{array}{c} L_{1}-L_{2} \\ L_{2} \\ L_{3}-L_{2} \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ & & \\ {\color{blue}{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}} & \begin{array}{c} L_{1}-L_{2} \\ L_{2} \\ L_{3}-L_{2} \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) \end{array} \]

\[ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \begin{array}{c} L_{1}+2L_{3} \\ L_{2}-L_{3} \\ L_{3} \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ & & \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) & \begin{array}{c} L_{1}+2L_{3} \\ L_{2}-L_{3} \\ L_{3} \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 4 & -3 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) \end{array} \]

Ainsi \[ A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 4 & -3 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) \]

Exercice 5 : Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ et $P$ une matrice carrée inversible d'ordre $n$. Calculer \[ \left( P.A.P^{-1}\right) ^{2},\left( P.A.P^{-1}\right) ^{3} \] ou plus généralement \[ \left( P.A.P^{-1}\right) ^{n} \]

Solution

On a \[ (P.A.P^{-1})^{2}=P.A.P^{-1}.P.A.P^{-1} \] Comme $P^{-1}.P=I$ (la matrice identité), sachant que $I.A=A.I=A$ pour toute matrice $A$ d'ordre $n,$ on obtient : \[ (P.A.P^{-1})^{2}=P.A.I.A.P^{-1}=P.A^{2}.P^{-1} \] De même \begin{eqnarray*} (P.A.P^{-1})^{3} &=&P.A.P^{-1}.P.A.P^{-1}.P.A.P^{-1} \\ &=&P.A.I.A.I.A.P^{-1} \\ &=&P.A^{3}.P^{-1} \end{eqnarray*} Plus généralement, on va avoir \[ (P.A.P^{-1})^{n}=P.A^{n}.P^{-1} \]

Exercice 6 : En utilisant les propriétés des déterminants, factoriser au maximum : $$\left|\begin{array}{ccc}{a} & {-b} & {a} \\ {-a} & {a} & {-b} \\ {b} & {-a} & {a}\end{array}\right| \quad(a, b \in \mathbb{R})$$

Solution

$(a-b)^{2}(2 a+b)$

Exercice 7 : Factoriser au maximum : $$\left|\begin{array}{ccc}{a-b-c} & {2 a} & {2 a} \\ {2 b} & {b-c-a} & {2 b} \\ {2 c} & {2 c} & {c-a-b}\end{array}\right| \quad(a, b, c \in \mathbb{R})$$

Solution

$(a+b+c)^3$

Exercice 8 : Démontrer que $\left|\begin{array}{lll}{1} & {1} & {1} \\ {a} & {b} & {c} \\ {a^{2}} & {b^{2}} & {c^{2}}\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)$

Solution

remplacer $C2$ par $C2-C1$ et $C3$ par $C3-C1$ (lettre $C$ pour colonne).

Exercice 9 : Déterminer les valeurs du paramètre $m\in\mathbb{R}$ pour lesquelles la matrice $$ A_{m}=\left(\begin{array}{ccc}{m-2} & {2} & {-1} \\ {2} & {m} & {2} \\ {2 m} & {2 m+2} & {m+1}\end{array}\right) $$ est inversible. Déterminer l'inverse de cette matrice pour $m=-1$.

Solution

SOLUTION

Exercice 10 : Pour quelles valeurs du paramètre réel $a$ le système suivant n'est-il pas de Cramer? (Un système linéaire est dit de Cramer s'il admet une et une seule solution i.e. si le déterminant du système est non nul.) $$ \left\{\begin{array}{rcrcrcr} %x&+&y&+&z&=&t x & + & y & + & z & = & 3 \\ a^2 x & + & (a-2)^2 y & + & (2 a-1)^2 z & = & 11-8 a \\ a^4 x & + & (a-2)^4 y & + & (2 a-1)^4 z & = & 83-80 a \end{array}\right. $$

Aide : s'appuyer sur l'exercice précédent.

Solution

SOLUTION

Exercice 11 : En évitant des calculs longs et inutiles, rechercher la valeur du déterminant $$\begin{vmatrix} a+d&a&2\\ b+2d&b&4\\ c+3d&c&6 \end{vmatrix}$$

Solution

$$\begin{vmatrix} a + d & a & 2 \\ b + 2d & b & 4 \\ c + 3d & c & 6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} d & a & 2 \\ 2d & b & 4 \\ 3d & c & 6 \end{vmatrix} = d \begin{vmatrix} 1 & a & 2 \\ 2 & b & 4 \\ 3 & c & 6 \end{vmatrix} = 0$$ $$(c_1 \leftarrow c_1 - c_2) \quad \text{(facto.)} \quad (c_3 = 2c_1)$$

Exercice 12 : ENONCE

Solution

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Exercice 13 : ENONCE

Solution

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Exercice 14 : ENONCE

Solution

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Exercice 15 : ENONCE

Solution

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