Inversion matricielle

Sujet à modifications

Ce critère permet de déterminer si l'inversion de $A$ est possible. Nous allons calculer le déterminant ; s'il est différent de zéro, nous pourrons inverser $A$. Dans le cas contraire, nous conclurons que $A$ n'est pas inversible.

L'objectif de cette méthode est de partir d'une matrice donnée $A$ et d'utiliser des opérations élémentaires pour la transformer en matrice identité. En même temps, on part de la matrice identité et on applique les mêmes opérations pour obtenir la matrice inverse $A^{-1}$.

Exemple : Calcul de l'inverse de la matrice (il faut vérifier que det A $\neq 0$) $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right)$$ Le premier pivot est $a_{11}=1$. On va remplacer la deuxième ligne par la deuxième moins 2 fois la première et la troisième ligne par la troisième moins la première.

$$\begin{array}{lll} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow L_{1}\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}-2L_{1}\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}-L_{1}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \end{array}$$ On effectue la même opération sur la matrice identité. $$\begin{array}{lll} \left( \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow L_{1}\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}-2L_{1}\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}-L_{1}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ On réduit la deuxième colonne et on procède de même sur la matrice issue de l'identité : $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow 5L_{1}+2L_{2}\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}\rightarrow \\ \leftarrow 5L_{3}+L_{2}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} -5 & 0 & -2 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) \\ & & \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow 5L_{1}+2L_{2}\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}\rightarrow \\ \leftarrow 5L_{3}+L_{2}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 5 \end{array} \right) \end{array}$$ On réitère sur la troisième colonne : $$\begin{array}{lll} \left( \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 2 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow 11L_{1}-2L_{3}\rightarrow \\ \leftarrow 11L_{2}-L_{3}\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 55 & 0 & 0 \\ 0 & -55 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) \\ & & \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 5 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow 11L_{1}-2L_{3}\rightarrow \\ \leftarrow 11L_{2}-L_{3}\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 25 & 20 & -10 \\ -15 & 10 & -5 \\ -7 & 1 & 5 \end{array} \right) \end{array}$$ Le déterminant $\Delta =(55)\times (-55)\times 11\neq 0$. La matrice est donc inversible (on peut le vérifier en calculant le déterminant de A). On divise chaque ligne par le coefficient de la diagonale : $$\begin{array}{lll} \left( \begin{array}{ccc} 55 & 0 & 0 \\ 0 & -55 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow L_{1}/55\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}/(-55)\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}/11\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ & & \\ \left( \begin{array}{ccc} 25 & 20 & -10 \\ -15 & 10 & -5 \\ -7 & 1 & 5 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow L_{1}/55\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}/(-55)\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}/11\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 5/11 & 4/11 & -2/11 \\ 3/11 & -2/11 & 1/11 \\ -7/11 & 1/11 & 5/11 \end{array} \right) \end{array}$$ Ainsi $$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 5/11 & 4/11 & -2/11 \\ 3/11 & -2/11 & 1/11 \\ -7/11 & 1/11 & 5/11 \end{array} \right)$$ et on vérifie bien que $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc} 5/11 & 4/11 & -2/11 \\ 3/11 & -2/11 & 1/11 \\ -7/11 & 1/11 & 5/11 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) .$$