Système de Cramer
Règle de Cramer : Un système de Cramer un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice des coefficients est non nul.
$$\left\{\begin{matrix} a_1x_1 + b_1x_2 + c_1x_3 = d_1\\ a_2x_1 + b_2x_2 + c_2x_3 = d_2\\ a_3x_1 + b_3x_2 + c_3x_3 = d_3 \end{matrix}\right.$$
Posons : $$A = \begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{pmatrix}, \quad X= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \quad\text{et} \quad D = \begin{pmatrix} d_1\\ d_2\\ d_3 \end{pmatrix}.$$
Le système admet une solution unique si et seulement si $\det(A) \ne 0$ :
$$x_1 = \dfrac{\det(A_1)}{\det(A)} = \dfrac{\begin{vmatrix}d_1&b_1&c_1\\d_2&b_2&c_2\\d_3&b_3&c_3\end{vmatrix}}{\det(A)} $$ $$ \quad x_2 = \dfrac{\det(A_2)}{\det(A)} = \dfrac{\begin{vmatrix}a_1&d_1&c_1\\a_2&d_2&c_2\\a_3&d_3&c_3\end{vmatrix}}{\det(A)} $$ $$ x_3 = \dfrac{\det(A_3)}{\det(A)} = \dfrac{\begin{vmatrix}a_1&b_1&d_1\\a_2&b_2&d_2\\a_3&b_3&d_3\end{vmatrix}}{\det(A)}$$
Remarques :
- Pour que le système n'admette aucune solution, il suffit que : $\det(A) = 0$ et $\Big( \det(A_1) \ne 0\quad\text{ou}\quad\det(A_2) \ne 0\quad\text{ou}\quad\det(A_3) \ne 0 \Big)\,$
- Dans le cas $\det(A) = \det(A_1) = \det(A_2) = \det(A_3) = 0\,$ on peut avoir soit une infinité de solutions, soit aucune.
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