Schéma de Hörner

Exemple: dans $\mathbb{R}$

Considérons le polynôme $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, et divisons-le par $x - 2$:

1. On met en tableau : $$\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & & & & \\ \hline & & & & \end{array}$$ 2. On fait descendre le $1$ (le coefficient de $x^3$): $$\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array}$$ 3. On multiplie $1$ par $2$ et on additionne avec $-6$: $$\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & 2 & & \\ \hline & 1 & -4 & & \end{array}$$ 4. On multiplie $-4$ par $2$ et on additionne avec $11$: $$\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & 2 & -8 & \\ \hline & 1 & -4 & 3 & \end{array}$$ 5. On multiplie $7$ par $2$ et on additionne avec $-6$: $$\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & 2 & -8 & 6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array}$$

Le résultat de la division est donc le polynôme $Q(x) = x^2 - 4x + 7$ avec un reste de $0$. Autrement dit, $P(x) = (x - 2)(x^2 - 4x + 7)$.

On aurait pu savoir directement que le reste de la division du polynôme $P$ par $x-2$ était nul. Il suffisait d'évaluer le polynôme en $x = 2$, on trouve $$P(2) = 2^3 - 6.2^2 + 11.2 - 6 = 8-24+22-6 = 0$$