Schéma de Hörner
Le schéma de Horner est une technique utilisée pour effectuer la division polynomiale et pour évaluer un polynôme. Il sert à diviser un polynôme \(P(x)\) par un binôme de la forme \(x - a\), et aussi à trouver les valeurs de \(P(x)\) pour \(x = a\).
https://billcookmath.com/sage/algebra/Horners_method.html
Explication : Pour appliquer le schéma de Horner :
- Écrire le polynôme : Vous écrivez tous les termes du polynôme, même ceux dont le coefficient est zéro.
- Organiser les termes : Vous disposez les termes du polynôme dans l'ordre décroissant des puissances de \(x\).
- Mettre le polynôme en tableau : Le coefficient du terme de degré le plus élevé est écrit dans la première case, et on continue à écrire les coefficients dans l'ordre, de gauche à droite.
- Diviser : On fait descendre le premier coefficient tel quel. Ensuite, on multiplie ce coefficient par \(a\) (le nombre dont on divise), et on additionne le résultat avec le coefficient suivant. On répète cette opération jusqu'à la fin du tableau.
Exemple: dans \(\mathbb{R}\)
Considérons le polynôme \( P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \), et divisons-le par \( x - 2 \):
1. On met en tableau : \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & & & & \\ \hline & & & & \end{array} \] 2. On fait descendre le \(1\) (le coefficient de \(x^3\)): \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} \] 3. On multiplie \(1\) par \(2\) et on additionne avec \(-6\): \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & 2 & & \\ \hline & 1 & -4 & & \end{array} \] 4. On multiplie \(-4\) par \(2\) et on additionne avec \(11\): \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & 2 & -8 & \\ \hline & 1 & -4 & 3 & \end{array} \] 5. On multiplie \(7\) par \(2\) et on additionne avec \(-6\): \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & 2 & -8 & 6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array} \]
Le résultat de la division est donc le polynôme \(Q(x) = x^2 - 4x + 7\) avec un reste de \(0\). Autrement dit, \(P(x) = (x - 2)(x^2 - 4x + 7) \).
On aurait pu savoir directement que le reste de la division du polynôme \(P\) par \(x-2\) était nul. Il suffisait d'évaluer le polynôme en \(x = 2\), on trouve \[ P(2) = 2^3 - 6.2^2 + 11.2 - 6 = 8-24+22-6 = 0\]