Exemple: dans \(\mathbb{R}\)

Considérons le polynôme \( P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \), et divisons-le par \( x - 2 \):

1. On met en tableau : \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & & & & \\ \hline & & & & \end{array} \] 2. On fait descendre le \(1\) (le coefficient de \(x^3\)): \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} \] 3. On multiplie \(1\) par \(2\) et on additionne avec \(-6\): \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & 2 & & \\ \hline & 1 & -4 & & \end{array} \] 4. On multiplie \(-4\) par \(2\) et on additionne avec \(11\): \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & 2 & -8 & \\ \hline & 1 & -4 & 3 & \end{array} \] 5. On multiplie \(7\) par \(2\) et on additionne avec \(-6\): \[ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 2 & \downarrow & 2 & -8 & 6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array} \]

Le résultat de la division est donc le polynôme \(Q(x) = x^2 - 4x + 7\) avec un reste de \(0\). Autrement dit, \(P(x) = (x - 2)(x^2 - 4x + 7) \).

On aurait pu savoir directement que le reste de la division du polynôme \(P\) par \(x-2\) était nul. Il suffisait d'évaluer le polynôme en \(x = 2\), on trouve \[ P(2) = 2^3 - 6.2^2 + 11.2 - 6 = 8-24+22-6 = 0\]