Polynôme du second degré (et plus)

Résolution d'équations polynomiales de degré 2 et 3. (lien vers les exercices)

Equations produits

Exemple où une factorisation est obligatoire !

Résoudre $z^2 + (3\mathbf{i} + 1) z = 0$ dans $\mathbb{C}$

$z^2 + (3\mathbf{i} + 1) z = 0 \iff z\left(z+3\mathbf{i} + 1\right) = 0 \iff \begin{cases}z=0\\z=-1-3\mathbf{i}\end{cases}$

$S_{\mathbb{C}} = \big\lbrace 0~;~-1-3\mathbf{i} \big\rbrace$

Note : l'utilisation du réalisant est à proscrire.

Equations à coefficients réels

L'équation : $ az^2+bz+c=0$ avec $ a\in\mathbb{R}_0,\ b\in\mathbb{R},\ c\in\mathbb{R}$

admet une ou deux racines réelles lorsque $\rho=b^2-4ac\geq 0$
admet deux solutions complexes conjuguées lorsque $\rho=b^2-4ac<0$ qui sont :

\[ z_1=\dfrac{-b-\mathbf{i}\sqrt{|\rho|}}{2a} \text{et} z_2=\dfrac{-b+\mathbf{i}\sqrt{|\rho|}}{2a}. \]

Rappel : $|\rho|$ est la valeur absolue de $\rho \in \mathbb{R}^-$

Exemple : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-8z+52=0$

$\rho=b^2-4ac = 64-4.52=-144=144\ \mathbf{i}^2$
$z=\dfrac{8\pm12\mathbf{i}}{2}$
$S_{\mathbb{C}} = \big\lbrace 4+6\ \mathbf{i}~;~4-6\ \mathbf{i} \big\rbrace$

On observe que ce polynôme complexe du second degré, ayant des coefficients réels, présente la particularité d'avoir deux racines complexes qui sont conjuguées l'une de l'autre. Cette caractéristique n'est pas fortuite et on trouvera plus loin une démonstration rigoureuse pour tous les polynômes complexes à coefficients réels.

Equations à coefficients complexes

Soit $a, b, c \in \mathbb{C}$ avec $a \neq 0$.

Les solutions de l'équation $a z^2+b z+c=0$, d'inconnue $z \in \mathbb{C}$, sont $\frac{-b+\text{RCC}(\rho)}{2 a}$ et $\frac{-b-\text{RCC}(\rho)}{2 a}$, où $\text{RCC}(\rho)$ est l'une quelconque des deux racines carrées du réalisant $b^2-4 a c$.

Les solutions de l'équation $z^2-(3+i) z+2+i=0$, d'inconnue $z \in \mathbb{C}$, sont $1$ et $2+i$.

En effet, $\rho = (3+i)^2-4(2+i) = 2i$ et $\text{RCC}(\rho) = \begin{cases} 1+i \\ -1-i\end{cases}$ (voir Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique)

dès lors, $z_1=\dfrac{3+i+1+i}{2}= 2+i$ et $z_2=\dfrac{3+i-1-i}{2}= 1$

Autres équations

Equations du troisième degré

Équations de degré 3 : $ a z^3+b z^2+c z+d=0 $

On détermine une racine évidente $\alpha$ (parmi les diviseurs du terme indépendant)
On en déduit une factorisation par $(z-\alpha)$ (méthode de Hörner)
On conclut grâce au théorème du produit nul.
Exemple : résoudre $z^3-3 z^2+3 z+7=0$.
Parmi les diviseurs du terme indépendant, $-1$ est une racine du polynôme $P(z)=z^3-3 z^2+3 z+7$ (en effet, $P(-1)=-1-3-3+7 = 0$)
on a donc $P(z)=(z+1)(z^2+\alpha z+\beta)$

Méthode de Hörner (voir Schéma de Hörner) : \[\bbox[lightblue,5px] {\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -3 & 3 & 7 \\ -1 & \downarrow & -1 & 4 & -7 \\ \hline & 1 & -4 & 7 & 0 \\ \end{array} }\]

Il reste à résoudre $z^2-4z+7=0$

Son réalisant est : $\rho = -12$

Les deux autres racines sont : \[ z_1=\dfrac{4-\mathbf{i}\sqrt{|-12|}}{2} = 2 - \mathbf{i}\sqrt{3} \quad \text{et} \quad z_2=\dfrac{4+\mathbf{i}\sqrt{|-12|}}{2} = 2 + \mathbf{i}\sqrt{3}. \]

Polynôme complexe à coefficients réels

Tout polynôme complexe à coefficients réels admet un nombre pair de racines complexes non réelles. Ces racines sont alors conjuguées deux à deux.

Preuve

Soit un polynôme $P$ de degré $n$ à coefficients réels : $$ P(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_1 z+a_0 $$ On suppose que $z_0$ est racine de $P$, montrons alors que $\overline{z_0}$ est aussi racine de $P$. $$ \begin{aligned} P\left(z_0\right)=0 & \iff \overline{P\left(z_0\right)}=\overline{0} \\ & \iff \overline{a_n z_0^n+a_{n-1} z_0^{n-1}+\cdots+a_1 z_0+a_0}=\overline{0} \\ & \iff \overline{a_n z_0^n}+\overline{a_{n-1} z_0^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1 z_0}+\overline{a_0}=0 \\ & \iff \overline{a_n} \overline{z_0^n}+\overline{a_{n-1}} \overline{z_0^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1} \overline{z_0}+\overline{a_0}=0 \end{aligned} $$ Comme les coefficients sont réels, $\forall k \in\{0,1, \ldots, n\}, \overline{a_k}=a_k$ et $\overline{z^n}=\bar{z}^n$ $$ \begin{aligned} \phantom{P\left(z_0\right)=0} & \iff a_n{\overline{z_0}}^n+a_{n-1}{\overline{z_0}}^{n-1}+\cdots+a_1 \overline{z_0}+a_0=0\\ & \iff P(\overline{z_0})=0 \qquad \text{et} \quad \overline{z_0} \text { racine du polynôme } P\\ \end{aligned} $$

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