Soit un polynôme $P$ de degré $n$ à coefficients réels : $$P(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_1 z+a_0$$ On suppose que $z_0$ est racine de $P$, montrons alors que $\overline{z_0}$ est aussi racine de $P$. $$\begin{aligned} P\left(z_0\right)=0 & \iff \overline{P\left(z_0\right)}=\overline{0} \\ & \iff \overline{a_n z_0^n+a_{n-1} z_0^{n-1}+\cdots+a_1 z_0+a_0}=\overline{0} \\ & \iff \overline{a_n z_0^n}+\overline{a_{n-1} z_0^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1 z_0}+\overline{a_0}=0 \\ & \iff \overline{a_n} \overline{z_0^n}+\overline{a_{n-1}} \overline{z_0^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1} \overline{z_0}+\overline{a_0}=0 \end{aligned}$$ Comme les coefficients sont réels, $\forall k \in\{0,1, \ldots, n\}, \overline{a_k}=a_k$ et $\overline{z^n}=\bar{z}^n$ $$\begin{aligned} \phantom{P\left(z_0\right)=0} & \iff a_n{\overline{z_0}}^n+a_{n-1}{\overline{z_0}}^{n-1}+\cdots+a_1 \overline{z_0}+a_0=0\\ & \iff P(\overline{z_0})=0 \qquad \text{et} \quad \overline{z_0} \text { racine du polynôme } P\\ \end{aligned}$$