Nombres complexes : questions d'examens

Exercice 1 : Résoudre l'équation complexe $z^2-\left(7+2.i\right)z+18+16.i=0$

Solution

$\rho = \left(7+2.i\right)^2-4\left(18+16.i\right) = -27-36.i = -9\left(3+4.i\right) = 9.i^2\cdot\left(3+4.i\right)$

RCC$\left(3+4.i\right) = \pm\left(\sqrt{\frac{5+3}{2}}+.i\sqrt{\frac{5-3}{2}}\right) = \pm \left(2+.i\right)$

donc, RCC$(\rho) = \pm\left(3.i\left(2+.i\right)\right) = \pm\left(-3+6.i\right)$

\[z=\frac{7+2.i \pm\left(-3+6.i\right) }{2}\]

$$\mathrm{S}=\left\{2+4.i~;~5-2.i\right\}$$

Exercice 2 : Soit $z=-\sqrt{2-\sqrt{3}}+\mathbf{i} \sqrt{2+\sqrt{3}}$

a) Calculez $z^2$ sous forme algébrique.

Solution

$z^2=-2\sqrt{3}-2\mathbf{i}$

b) Quelle est la forme trigonométrique de $z^2$ ? En déduire le module et l'argument de $z$.

Solution

$|z^2|=4$ ; $\cos \phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \phi = -\frac{1}{2}$ implique $\phi = {210}^\circ$ (ou $\phi=\frac{7\pi}{6}$)

donc $z=2 \; \text{cis} {{105}^\circ}=2 \; \text{cis} {\frac{7\pi}{12}}$

c) Calculez les racines cubiques de $z$ et les laisser sous leur forme trigonométrique.

Solution

$w_0=\sqrt[3]{2} \text{cis} {{35}^\circ}$, $w_1=\sqrt[3]{2} \text{cis} {{155}^\circ}$, $w_2=\sqrt[3]{2} \text{cis} {{275}^\circ}$

ou $w_0=\sqrt[3]{2} \text{cis} {\frac{7\pi}{36}}$, $w_1=\sqrt[3]{2} \text{cis} {\frac{31\pi}{36}}$, $w_2=\sqrt[3]{2} \text{cis} {\frac{55\pi}{36}}$

Exercice 3 : Soit $z=\left(4-m\right)+\left(5m-1\right)\mathbf{i}$ un nombre complexe où $m$ est un réel inconnu.

déterminez les valeurs réelles que l'on doit donner à $m$ pour que le module de $z$ soit de $5$ unités.
Expliquez pourquoi l'argument de $z$ ne sera jamais compris entre $\pi$ et $\frac{3\pi}{2}$ quelle que soient les valeurs données à $m$.

Solution

module : $\sqrt{\left(4-m\right)^2+\left(5m-1\right)^2} = 5 \iff 26m^2-18m-8=0$
$m_1=1$ , $m_2=-\frac{4}{13}$
Le point image de $z$ doit se situer dans le 3ème quadrant.
Cela implique $4-m<0$ et $5m-1<0$.
C'est impossible car $m$ ne peut être supérieur à $4$ et inférieur à $1/5$ en même temps.

Exercice 4 : Les sous-questions suivantes sont indépendantes l'une de l'autre.

Etant donné $z \in \mathbb{C}$ tel que $\left|z\right|=1$, prouve que $1+z=\left(1+\overline{z}\right)z$.
Soit $ z^2 - (3 + i) z + m + 2 i = 0 $ une équation complexe du second degré où $m$ est un paramètre réel. Calcule la valeur de $m$ pour que cette équation possède une racine réelle puis recherche l'autre racine.

Solution

Exercice 5 : Soit le nombre complexe $z=-\sqrt{4-2\sqrt{2}}+i\sqrt{4+2\sqrt{2}}$

Calcule $z^4$ sous forme algébrique puis donne sa forme trigonométrique
Déduis-en la forme trigonométrique de $z$
Détermine la valeur exacte de $\cos{\frac{\pi}{8}}$ et $\sin{\frac{\pi}{8}}$

Solution

Exercice 6 : Recherche, sous forme algébrique, les solutions dans $\mathbb{C}$ de $iz^2 +(1-5i)z -1+8i=0$ puis dessine-les dans le plan de Gauss.

Solution

Exercice 7 : Soit $f\left(z\right)=\dfrac{\overline{z}+i}{iz+1}$ une fonction complexe à variable complexe.

Indiquer le domaine de cette fonction
Calculer la forme trigonométrique de $f(-1)$ et $f(2i)$ puis la forme algébrique de $f(1-i)$
~~Vérifier que $\forall z \in \mathbb{C}$ on a $f(z)=\alpha + i$ où $\alpha$ est un réel à déterminer en fonction de la partie réelle et imaginaire de $z$.~~
Rechercher l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $f\left(z\right)\in\mathbb{R}$

Solution

Exercice 8 : Résoudre dans $\mathbb{C}$

$x^4=2\left(x^2-1\right)$
$z^6+(7-i)z^3 -8 -8i = 0$

Solution

Exercice 9 :

Résoudre l'équation complexe $z^2-\left(7+2\mathbf{i}\right)z+18+16\mathbf{i}=0$

Solution

$\rho = \left(7+2\mathbf{i}\right)^2-4\left(18+16\mathbf{i}\right) = -27-36\mathbf{i} = -9\left(3+4\mathbf{i}\right) = 9\mathbf{i}^2\cdot\left(3+4\mathbf{i}\right)$

RCC$\left(3+4\mathbf{i}\right) = \pm\left(\sqrt{\frac{5+3}{2}}+\mathbf{i}\sqrt{\frac{5-3}{2}}\right) = \pm \left(2+\mathbf{i}\right)$

donc, RCC$(\rho) = \pm\left(3\mathbf{i}\left(2+\mathbf{i}\right)\right) = \pm\left(-3+6\mathbf{i}\right)$

\[z=\frac{7+2\mathbf{i} \pm\left(-3+6\mathbf{i}\right) }{2}\]

$$\mathrm{S}=\lbrace{2+4\mathbf{i}~;~5-2\mathbf{i}\rbrace}$$

Exercice 10 :

Citer la formule de De Moivre (on ne demande pas de la démontrer).

Solution

Formule de Moivre : $(\cos\theta+\mathbf{i}\sin\theta)^n =\cos n\theta+i\sin n\theta$

Donner la forme trigonométrique des racines quatrièmes complexes de $-1\in \mathbb{C}$.

Solution

$-1=\text{ cis }{\pi}$

forme trigonométrique des racines quatrièmes de $\text{ cis }{\pi}$ : $w_0 = \text{ cis }{\frac{\pi}{4}}$, $w_1 = \text{ cis }{\frac{3\pi}{4}}$, $w_2 = \text{ cis }{\frac{5\pi}{4}}$ et $w_3 = \text{ cis }{\frac{7\pi}{4}}$.

Exercice 11 :

Soit $z=-4-4\,\textbf{i}$. Calculez les racines cinquième complexe de $z$ et représentez-les assez précisément.
Résoudre l'équation $z^2+\left({3-5\,\textbf{i}}\right)z-16-11\,\textbf{i}=0$ dans $\mathbb{C}$.
Soit $m\in\mathbb{R}$ un réel inconnu et $z=\left({m^2-16}\right)+\left({m-3}\right)\,\textbf{i}$ un nombre complexe. Que devrais-je donner comme valeur à $m$ pour que l'ARGUMENT de $z$ soit de $135^\circ$ ? On verra un raisonnement.

Solution

Exercice 12 : Montrer que $\dfrac{a + ib}{a - ib} + \dfrac{a - ib}{a + ib} $ $(a, b \in \mathbb{R} \text{ et } a \neq 0 \text{ ou } b \neq 0)$ est un nombre réel et calculer ce nombre.

Solution

Exercice 13 : Donner la partie réelle et imaginaire de $\dfrac{1}{\cos \theta + i \sin \theta}$

Solution

Exercice 14 : Soit $z = (3 + m) - (1 - 2m)i$ où $m \in \mathbb{R}$.

Déterminez la valeur que je dois donner à $m$ pour que :

a) le module de $z$ soit de $\sqrt{13}$

b) l'argument de $z$ soit de $45^\circ$

Solution

Exercice 15 : Soit $z = \frac{(1 - \sqrt{3}i)^4 \cdot (-\sqrt{3} - 3i)^5}{(-\sqrt{2} + \sqrt{2}i)^8}$. Écrivez $z$ sous forme classique $a + bi$.

Solution

$-54 + 54 \sqrt{3}i$