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Forme algébrique d'un nombre complexe
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Forme algébrique d'un nombre complexe

Lorsqu'on aborde les nombres complexes sous forme algébrique, voici les points principaux généralement couverts par les exercices de base :

1. Définition et représentation :

Comprendre la forme algébrique $ z = a + b\ \mathbf{i} $ où $ \mathbf{i} $ est l'unité imaginaire.
Représentation graphique dans le plan complexe (ou plan de Gauss).

2. Opérations élémentaires : voir → Opérations élémentaires

Addition et soustraction de nombres complexes.
Multiplication, inversion et division.
Élever un complexe à une puissance.
Rechercher les racines carrées de nombres complexes : voir → Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique

3. Conjugaison : voir → Conjugué d’un nombre complexe

Définition et propriétés du conjugué d'un nombre complexe.
Opérations impliquant des conjugaisons.

4. Module : voir → Module d’un nombre complexe

Calcul du module d'un nombre complexe.
Relation entre le module, la partie réelle et la partie imaginaire.

En maîtrisant ces points fondamentaux, on se dote d'une base solide pour aborder des concepts plus avancés sur les nombres complexes.

Définition et vocabulaire

Forme algébrique d'un nombre complexe :

Un nombre complexe est un nombre de la forme $x+y\ \mathbf{i}$, où $x$ et $y$ désignent des réels et $\mathbf{i}$ un nombre imaginaire vérifiant $\mathbf{i}^2=-1$.
L'ensemble des complexes est noté $\mathbb{C}$.
Un nombre complexe étant donc caractérisé par deux réels, il est naturel de lui associer un point (ou un vecteur) dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
Le plan muni d'un tel repère orthonormé est appelé plan complexe ou encore plan de Gauss.
- En effet, à chaque complexe $z=a+b \ \mathbf{i} $, on peut associer un unique point (celui de coordonnées $(a;b)$)
- et à chaque point $M(x;y)$ du plan, on peut associer un unique complexe $z=x+y\ \mathbf{i}$.
On dit que le plan et $\mathbb{C}$ sont en bijection (On dit aussi que le plan et $\mathbb{C}$ sont isomorphes).

Tout nombre $z\in\mathbb{C}$ admet une unique écriture de la forme $x+y\ \mathbf{i}$ (appelée forme algébrique)

La Partie réelle (notée $\text{Re}(z)$) est la composante $ x $ du nombre complexe.
La Partie imaginaire (notée $\text{Im}(z)$) est la composante $ y $ du nombre complexe.
Un nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.
Un nombre imaginaire pur a une partie réelle nulle.
Le nombre complexe zéro a ses deux parties (réelle et imaginaire) égales à zéro.

Exemples :

$\text{Re}(-1+2\ i)=-1$
$\text{Im}(-1+2\ i)=2$
$-3=-3+0\ i$
$\text{Re}(-5\ i)=0$
$0 = 0+0\ i$

Soit, un point $M$ de coordonnées $(x;y)$ :

le nombre complexe $z=x+y\ \mathbf{i}$ est l'affixe du point $M$ ou du vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{OM}$.
le point $M(x;y)$ est l'image du nombre complexe $z=x+y\ \mathbf{i}$.
l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{MN} $ est $ z_N - z_M $.
Les points d'affixe $ z_M $ et $ -z_M $ sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
le milieu $ K $ du segment $ [MN] $ a pour affixe $ \frac{z_M + z_N}{2} $.

Représentation graphique

code source de l'image

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[step=1cm,gray,very thin,dashed] (-1,-1) grid (4,3);
       \draw[->,>=latex, gray] (-0.5,0)--(4.5,0);
       \draw[->,>=latex, gray] (0,-0.5)--(0,3.5);
       \draw[dashed] (3,2)--(3,0);
       \draw[dashed] (3,2)--(0,2);
       \fill (1,0) circle (2pt);
       \fill (0,0) circle (2pt);
       \fill (0,1) circle (2pt);
       \fill (3,2) circle (2pt);
       \fill (3,0) circle (2pt);
       \fill (0,2) circle (2pt);
       \node at (0,0) [below left] {\small $0 = 0 + 0\cdot \text{i}$}; 
       \node at (1,0) [below] {\small $1 = 1 + 0\cdot \text{i}$}; 
       \node at (0,1) [left] {\small $\text{i} = 0 + 1\cdot \text{i}$}; 
       \node at (3,0) [below] {$x = x + 0\cdot \text{i}$}; 
       \node at (0,2) [left] {$y\cdot\text{i}=0 + y\cdot \text{i}$}; 
       \node at (3,2) [above right] {$z=x+y\cdot \text{i}$}; 
       \node at (4.5,0) [below] {$\mathbb{R}$}; 
       \node at (0,3.5) [left] {$i \mathbb{R}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Opérations dans $\mathbb{C}$

Égalité : $a+b\cdot \text{i} = c+d \cdot \text{i} \iff a=c \textrm{ et } b=d$

autrement dit : si $z=z'$ alors $\text{Re}(z)=\text{Re}(z')$ et $\text{Im}(z)=\text{Im}(z')$.

Addition : $(a+b\cdot \text{i} ) \pm (c+d \cdot \text{i} ) = (a \pm c) + (b \pm d) \cdot \text{i}$

Produit : $(a + b \cdot\text{i} ) \cdot (c+d \cdot \text{i} ) = (ac-bd) + (ad+bc) \cdot \text{i}$

Quotient : $\dfrac{a+b\cdot \text{i} }{c+d\cdot \text{i} } = \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+ \dfrac{bc-ad}{c^2+d^2} \cdot \text{i}$ (voir → methode_pour_diviser_deux_nombres_complexes)

Conjugué : si $z=a+b\cdot \text{i}$, alors $\overline{z}=a-b\cdot\text{i} $ (voir → Conjugué d'un nombre complexe)

Module : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (voir → Module d'un nombre complexe)

Méthode pour diviser deux nombres complexes

Diviser deux nombres complexes consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour éliminer la partie imaginaire du dénominateur. Voici le processus détaillé :

1. Conjuguer le dénominateur : Si vous avez une fraction $\frac{z_1}{z_2}$ où $z_1 = a + bi$ et $z_2 = c + di$, le conjugué de $z_2$ est $\overline{z_2} = c - di$.

2. Multiplier par le conjugué : Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $z_2$ : \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} \]

3. Simplifier le dénominateur : Le produit $ (c + di)(c - di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 + d^2 $ (car $i^2 = -1$).

Ainsi, le dénominateur devient $ c^2 + d^2 $.

4. Distribuer le numérateur : \[ (a + bi)(c - di) = ac - adi + bci - bdi^2 = ac - adi + bci + bd = (ac + bd) + (bc - ad)i \]

5. Écrire la fraction simplifiée : \[ \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \]

6. Séparer en parties réelle et imaginaire : \[ = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i \]

Donc, la division de $z_1$ par $z_2$ donne :

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \left(\frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\right) + \left(\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\right)i \]

La raison pour laquelle on ne peut pas laisser l'écriture fractionnaire comme $\frac{a + bi}{c + di}$ est qu'il n'est pas conventionnel ou pratique de travailler avec des fractions complexes où le dénominateur est un nombre complexe. Multiplier par le conjugué permet de convertir le dénominateur en un nombre réel, simplifiant ainsi l'expression et facilitant les calculs ultérieurs.

Représentations graphiques

Soient $ z_1 $ et $ z_2 $ deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par $ z_1 = x_1 + iy_1 $ et $ z_2 = x_2 + iy_2 $.

Ainsi $ \overrightarrow{w_1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) $ et $ \overrightarrow{w_2} \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) $.

Addition : $ \overrightarrow{w_1} + \overrightarrow{w_2} $ a pour coordonnées $ \left( \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right) $.

Donc : $ z_{\overrightarrow{w_1} + \overrightarrow{w_2}} = x_1 + x_2 + i (y_1 + y_2) = (x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = z_1 + z_2 $.

code source de l'image

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[step=1cm,black,thin,dotted] (-4,-2) grid (2,3);
\draw[->,>=latex, gray] (-4.5,0)--(2.5,0);
\draw[->,>=latex, gray] (0,-2.5)--(0,3.5);
\fill[red] (1,2) circle (1pt) node [above] { $z_1$};
\draw[-{Latex[length=2mm]},red] (0,0) -- (1,2) node [midway,below,sloped] {\(\overrightarrow{w_1}\)};
\fill[blue] (-3,-1) circle (1pt) node [below] { $z_2$};
\draw[-{Latex[length=2mm]},blue] (0,0) -- (-3,-1) node [midway,below,sloped] {\(\overrightarrow{w_2}\)};
\fill[] (-2,1) circle (1pt) node [above left] { $z_{\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}}$};
\draw[-{Latex[length=2mm]}] (0,0) -- (-2,1) node [midway,above,sloped] {\(\overrightarrow{w_1+w_2}\)};
\draw[dashed,gray] (-3,-1) -- (-2,1) -- (1,2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Produit par un scalaire : Soit $ k \in \mathbb{R} $, $ k\cdot \overrightarrow{w_1} $ a pour coordonnées $ \left( \begin{array}{c} k\cdot x_1 \\ k\cdot y_1 \end{array} \right) $.

Donc : $ z_{k\cdot \overrightarrow{w_1}} = k\cdot x_1 + i k\cdot y_1 = k\cdot (x_1 + iy_1) = k\cdot z_1 $.

code source de l'image

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[step=1cm,black,thin,dotted] (-4,-2) grid (2,3);
\draw[->,>=latex, gray] (-4.5,0)--(2.5,0);
\draw[->,>=latex, gray] (0,-2.5)--(0,3.5);
\fill[red] (2,-1) circle (1pt) node [below] { $z_1$};
\draw[thick,-{Latex[length=2mm]},red] (0,0) -- (2,-1) node [midway,below,sloped] {\(\overrightarrow{w}_{1}\)};
\fill[] (-4,2) circle (1pt) node [above] { $z_{-2\cdot \overrightarrow{w_1}}$};
\draw[thick,-{Latex[length=2mm]}] (0,0) -- (-4,2) node [midway,above,sloped] {\(-2\cdot\overrightarrow{w_1} \)};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Exemples graphiques

Images de deux nombres complexes, de leurs modules et de leurs sommes/différences :

code source de l'image

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[step=1cm,black,thin,dotted] (-4,-3) grid (4,3);
\draw[->,>=latex, gray] (-4.5,0)--(4.5,0);
\draw[->,>=latex, gray] (0,-3.5)--(0,3.5);
\fill (0,0) circle (2pt) node [below left] { $0$};
\fill[red] (1,2) circle (2pt) node [above, xshift=2mm] { $z_1 = 1+2i$};
\fill[blue] (-3,-1) circle (2pt) node [above] { $z_2 = -3-i$};
\fill[blue] (-3,1) circle (2pt) node [above] { $\overline{z_2}=-3+i$};
\fill[orange] (-2,1) circle (2pt) node [below right, xshift=-4mm] { $z_1+z_2 = -2+i$};
\fill[orange] (-2,-1) circle (2pt) node [below right, xshift=-4mm] { $\overline{z_1+z_2} = -2-i$};
\fill[brown] (4,3) circle (2pt) node [above left] { $z_1-z_2 = 4+3i$}; 
\fill[brown] (4,-3) circle (2pt) node [below left] { $\overline{z_1-z_2} = 4-3i$};
\node at (4.5,0) [below] {$\mathbb{R}$}; 
\node at (0,3.5) [left] {$i \mathbb{R}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Exercice type

Soit le nombre complexe $z = \dfrac{1-\textbf{i}}{\sqrt{3}+\textbf{i}}$. Calculer $\text{Re}(z)$ et $\text{Im}(z)$.

Solution

\begin{align} z & = \dfrac{1-\textbf{i}}{\sqrt{3}+\textbf{i}} \\ & = \dfrac{1-\textbf{i}}{\sqrt{3}+\textbf{i}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-\textbf{i}}{\sqrt{3}-\textbf{i}} \quad \text{binome conjugué}\\ & = \dfrac{\left(1-\textbf{i}\right)\cdot \left(\sqrt{3}-\textbf{i}\right)}{4} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}-1}{4} - \mathbf{i} \cdot \dfrac{\sqrt{3}+1}{4} \end{align}

On trouve : $\text{Re}(z) = \dfrac{\sqrt{3}-1}{4}$ et $\text{Im}(z) = - \dfrac{\sqrt{3}+1}{4}$

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