Opérations et Formes algébriques dans \(\mathbb{C}\)
Exercice 1 : Puissances de $\mathbf{i}$ – Exprimez chacun des nombres suivant comme un élément de l'ensemble $\{-1,+1,-\mathbf{i},+\mathbf{i}\}$ :
- $\mathbf{i}^3$
- $\mathbf{i}^6$
- $\mathbf{i}^{16}$
- $\mathbf{i}^4$
- $\mathbf{i}^9$
- $\mathbf{i}^{32}$
Exercice 2 : Effectuer $\dfrac{\left( 1+2 \mathbf{i} \right)^2-\mathbf{i}^3}{2+ \mathbf{i} }$
Exercice 3 : Effectuer $\dfrac{\left( 1-2 \mathbf{i} \right)^2+\mathbf{i}^3}{2- \mathbf{i} }$
Exercice 4 : Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
- $\dfrac{1+{\mathbf{i}}\sqrt{2}}{\sqrt{2}-{\mathbf{i}}}$
- $\left( \dfrac{1-{\mathbf{i}}}{1+{\mathbf{i}}}\right)^2 $
- ${\mathbf{i}}+\dfrac{1}{{\mathbf{i}}}$
Exercice 5 : Calculer et donner la réponse sous la forme algébrique
- $z=\left(\sqrt{5}-3{\mathbf{i}}\right)\left(2-{\mathbf{i}}\sqrt{5}\right)$
- $z=\dfrac{3-{\mathbf{i}}}{2+{\mathbf{i}}}$
- $z\in\mathbb{C}$ tel que $z^2=8-6\mathbf{i}$
Exercice 6 : formes algébriques – Écrivez les nombres suivant sous forme algébrique:
a) $(6-2 \mathbf{i})-4$
b) $\dfrac{1}{\mathbf{i}}$
c) $\mathbf{i}^8+3 \mathbf{i}^7$
d) $\dfrac{2+\mathbf{i}}{1-2 \mathbf{i}}$
e) $(3+2 \mathbf{i})+(5-\mathbf{i})$
f) $\dfrac{3+2 \mathbf{i}}{2-3 \mathbf{i}}$
g) $(6-\mathbf{i})+(4-3 \mathbf{i})$
h) $\dfrac{2 \mathbf{i}}{2+\mathbf{i}}$
i) $(-2+3 \mathbf{i})+(6-4 \mathbf{i})$
j) $\dfrac{3-2 \mathbf{i}}{\mathbf{i}}$
k) $(-2-\mathbf{i})+(-1+7 \mathbf{i})$
l) $(a+\mathbf{i} b)+(c+\mathbf{i} d)$
m) $1+\mathbf{i}-3 \mathbf{i}^2+\mathbf{i}^7$
n) $\dfrac{-1+\mathbf{i} \sqrt{3}}{-1-\mathbf{i} \sqrt{3}}$
o) $(a+\mathbf{i} b)-(2-3 \mathbf{i})$
p) $\left(-\dfrac{1}{2}+\mathbf{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$
q) $(3+\mathbf{i})(2+4 \mathbf{i})$
r) $(-1+\mathbf{i})^4$
s) $(1-\mathbf{i})(2+3 \mathbf{i})$
t) $\left(\dfrac{2+3 \mathbf{i}}{5+\mathbf{i}}\right)^4$
u) $(2-\mathbf{i})(3+2 \mathbf{i})$
v) $\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}+\mathbf{i} \sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^8$
w) $(1-4 \mathbf{i})^2$
x) $\dfrac{1}{2-3 \mathbf{i}}$
y) $\left(\dfrac{\sqrt{6}-\mathbf{i} \sqrt{2}}{2(1-\mathbf{i})}\right)^{12}$
Exercice 7 : Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
a) La partie réelle de $2\mathbf{i}-3$ est $-3$.
b) La partie imaginaire de $4+5i$ est $5i$.
c) Les entiers naturels sont des nombres complexes.
d) $(1+\mathbf{i})^2$ est un imaginaire pur.
Exercice 8 : Dans chacun des cas suivants, déterminer les parties réelles et imaginaires du nombre $z$.
- $z=(3-\mathbf{i})^2$
- $z=(2\mathbf{i}-1)(3+\mathbf{i})$
- $z=3 \mathbf{i} (1 + \mathbf{i}) - 5 (2 - 3\mathbf{i})$
Exercice 9 : Rechercher $x$ et $y\in \mathbb{R}$ tels que $\left(1-2\mathbf{i}\right)x+\left( 3+5\mathbf{i} \right)y = 1+3 \mathbf{i}$
Exercice 10 : Rechercher $x$ et $y\in \mathbb{R}$ tels que $\left(1-2\mathbf{i}\right)x-\left( 3+5\mathbf{i} \right)y = 1-3 \mathbf{i}$
Exercice 11 : Rechercher $z\in\mathbb{C}$ tel que $\left( 1- \mathbf{i} \right)z+2-3 \mathbf{i} = \left( 3+4 \mathbf{i} \right)z$
Exercice 12 : Rechercher $z\in\mathbb{C}$ tel que $\left( 1- \mathbf{i} \right)z+3-2 \mathbf{i} = \left( 3+4 \mathbf{i} \right)z$
Exercice 13 : Vrai ou Faux ? Si l'énoncé est vrai, le justifier sinon le corriger.
a) soit $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$, alors $\dfrac{1}{a+b\;\mathbf{i}}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}{\mathbf{i}}$
b) l'inverse de ${\mathbf{i}}$ est $-{\mathbf{i}}$
Racines carrées
Exercice 14 : Rechercher les racines carrées complexes de :
- $-7+6\sqrt{2} \mathbf{i}$
- $1+\sqrt{3} \mathbf{i}$
Exercice 15 : Rechercher les racines carrées complexes de :
- $7+6\sqrt{2} \mathbf{i}$
- $1-\sqrt{3} \mathbf{i}$
Exercice 16 : Rechercher le/les nombres complexes dont le carré vaut $2-2\sqrt{3} \mathbf{i}$
Modules
Exercice 17 : Calculez les modules suivants :
- $|-3+4 \mathbf{i}|$
- $|6-8 \mathbf{i}|$
- $|5+\mathbf{i}|$
- $|-3 \mathbf{i}|$
- $|\sqrt{2}+\mathbf{i}|$
- $|\sqrt{2}+1|$
- $\left|\dfrac{1}{4+3 \mathbf{i}}\right|$
- $\left|\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{i}\right|$
- $|-2+2 \sqrt{3} \mathbf{i}|$
- $\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{i}\right|$
- $\left|\dfrac{1+\mathbf{i}}{1-2 \mathbf{i}}\right|$
Exercice 18 : Calculer le module de :
- $\mathbf{i} \left( 1+ \mathbf{i} \right)$
- $\left( 1+ \mathbf{i} \right)^{16}$
Exercice 19 : Calculs de modules de nombres complexes :
a) Sachant que $z_1=-3-2\mathbf{i}$ et $z_2=1-3\mathbf{i}$
Calculez : $\left|z_1\right| ; \left|z_1-z_2\right| ; \left|z_1+2 z_2\right| ; \left|z_1 z_2\right|$
b) Sachant que $z_1=5+\mathbf{i}$ et $z_2=-2+3\mathbf{i}$, vérifiez que $$ \left|z_1\right|^2=2\left|z_2\right|^2 $$
c) Soit $k \in \mathbb{R}, z_1=-1+8\mathbf{i}$ et $z_2=(1-k)+7\mathbf{i}$.
Déterminez les valeurs de $k$ telles que $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$.
d) Soit $z=x+\mathbf{i} y$ avec $x$ et $y$ des réels. Montrez que: $$ |z-2 \mathbf{i}|=|z-1| \iff 2 x-4 y+3=0 $$
e) Résolvez dans $\mathbb{R}$ : $|11+2 \mathbf{i}|=|x+1+5 \mathbf{i}|$.
f) Résolvez dans $\mathbb{C}$ : $\sqrt{5}|z|+\mathbf{i} z=3+\mathbf{i}$.
Exercice 20 : Résoudre $|z|-z=1+2 \mathbf{i}$
Exercice 21 : Après avoir posé $z=a+b.\mathbf{i}$ avec $a,b\in\mathbb{R}$, prouver que $\left|z^2\right| = \left|z\right|^2$
Exercice 22 : Calculer le module de :
- $\mathbf{i} \left( 1- \mathbf{i} \right)$
- $\left( 1-\mathbf{i} \right)^{18}$
Exercice 23 : Résoudre $|z|+z=2+ \mathbf{i}$
Conjugué
Exercice 24 : Vrai ou faux? Si l'énoncé est correct, le justifier sinon le corriger.
Si $z$ est un nombre complexe, alors :
a) $z$ est un réel si et seulement si $z=\overline{z}$
b) $z+\overline{z}=2\cdot \text{Re}(z)$
c) $\overline{z} - z = 2 \: {\mathbf{i}} \cdot \text{Im}(\overline{z})$
d) le module de l'inverse d'un nombre complexe est égal à l'inverse du module de ce même complexe.
Exercice 25 :
- Quels sont les complexes dont le carré est égal au conjugué ?
- Démontrer qu'un complexe est de module 1 ssi (si et seulement si) son inverse est aussi son conjugué.
- Soit $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$. Prouver que $\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}=\overline{z_1\cdot z_2}$
Exercice 26 : On pose $z_1=3-\mathbf{i}, z_2=1+2 \mathbf{i}, z_3=-2 \mathbf{i}$. Écrivez sous forme algébrique :
- $3 z_1$
- $z_1 \overline{z_2}$
- $z_1-z_3$
- $\mathbf{i} z_1^2+\dfrac{z_2}{z_3}$
- $2 z_1+z_2$
- $\left(z_1+{\overline{z_2}}^2\right)^2$
- $2 z_2+\mathbf{i} z_3$
- $z_3\left(z_1+\overline{\left(\dfrac{1}{z_2}\right)}\right)^2$
- $\mathbf{i}\left(z_2 z_3\right)$
- $\mathbf{i} z_1+\mathbf{i} z_2$
- $\left(z_1+{\overline{z_2}}^2+\dfrac{\mathbf{i}}{z_1+z_3}\right)^2$
- $z_1+\overline{z_2}$
- $z_1+\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1^2}+\dfrac{1}{\mathbf{i} \overline{z_1}}$
- $\mathbf{i} z_1+\overline{z_3}$