Opérations et Formes algébriques dans $\mathbb{C}$

lien vers la théorie

Exercice 1 : Puissances de $\mathbf{i}$ – Exprimez chacun des nombres suivant comme un élément de l'ensemble $\{-1,+1,-\mathbf{i},+\mathbf{i}\}$ :

$\mathbf{i}^3$
$\mathbf{i}^6$
$\mathbf{i}^{16}$
$\mathbf{i}^4$
$\mathbf{i}^9$
$\mathbf{i}^{32}$

Solutions

$\mathbf{i}^3=-\mathbf{i}$
$\mathbf{i}^6=\left(\mathbf{i}^3\right)^2=\left(-\mathbf{i}\right)^2 = -1$
$\mathbf{i}^{16}=\left(\mathbf{i}^{2}\right)^8 = (-1)^8 = 1$
$\mathbf{i}^4 = \left(\mathbf{i}^2\right)^2=(-1)^2=1$
$\mathbf{i}^9 = \left(\mathbf{i}^3\right)^3 = \left(-\mathbf{i}\right)^3 = -\mathbf{i}^3 = \mathbf{i}$
$\mathbf{i}^{32}=1$

Exercice 2 : Effectuer $\dfrac{\left( 1+2 \mathbf{i} \right)^2-\mathbf{i}^3}{2+ \mathbf{i} }$

Solution

Calculons $(1 + 2i)^2$ : $(1 + 2i)^2 = 1^2 + 2(1 \cdot 2i) + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

Sachant que $i^2 = -1$ , on a $i^3 = i \cdot i^2 = -i$ .

On a :

$\begin{align*} \frac{-3 + 4i + i}{2 + i} &= \frac{-3 + 5i}{2 + i} \\ &= \frac{-3 + 5i}{2 + i} \times \frac{2 - i}{2 - i} \\ &= \frac{-6 + 3i + 10i + 5}{4 + 1} \\ &= \frac{-1 + 13i}{5} \end{align*}$

Exercice 3 : Effectuer $\dfrac{\left( 1-2 \mathbf{i} \right)^2+\mathbf{i}^3}{2- \mathbf{i} }$

Solution

$\dfrac{\left( 1-2 \mathbf{i} \right)^2+\mathbf{i}^3}{2- \mathbf{i} } = \dfrac{-1 - 13i}{5}$

Exercice 4 : Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

$\dfrac{1+{\mathbf{i}}\sqrt{2}}{\sqrt{2}-{\mathbf{i}}}$
$\left( \dfrac{1-{\mathbf{i}}}{1+{\mathbf{i}}}\right)^2$
${\mathbf{i}}+\dfrac{1}{{\mathbf{i}}}$

Solutions

$\mathbf{i}$
$-1$
$0$

Exercice 5 : Calculer et donner la réponse sous la forme algébrique

$z=\left(\sqrt{5}-3{\mathbf{i}}\right)\left(2-{\mathbf{i}}\sqrt{5}\right)$
$z=\dfrac{3-{\mathbf{i}}}{2+{\mathbf{i}}}$
$z\in\mathbb{C}$ tel que $z^2=8-6\mathbf{i}$

Solutions

$-\sqrt{5}-11\mathbf{i}$
$1-\mathbf{i}$
$S=\left\lbrace -3+\mathbf{i},\:3-\mathbf{i}\right\rbrace$

Exercice 6 : formes algébriques – Écrivez les nombres suivant sous forme algébrique:

a) $(6-2 \mathbf{i})-4$

Solution

$(6-2 \mathbf{i})-4=2-2\mathbf{i}$

b) $\dfrac{1}{\mathbf{i}}$

Solution

$\dfrac{1}{\mathbf{i}} = -\mathbf{i}$

c) $\mathbf{i}^8+3 \mathbf{i}^7$

Solution

$\mathbf{i}^8+3 \mathbf{i}^7=1-3\mathbf{i}$

d) $\dfrac{2+\mathbf{i}}{1-2 \mathbf{i}}$

Solution

$\dfrac{2+\mathbf{i}}{1-2 \mathbf{i}}=\mathbf{i}$

e) $(3+2 \mathbf{i})+(5-\mathbf{i})$

Solution

$(3+2 \mathbf{i})+(5-\mathbf{i}) = 8+\mathbf{i}$

f) $\dfrac{3+2 \mathbf{i}}{2-3 \mathbf{i}}$

Solution

$\dfrac{3+2 \mathbf{i}}{2-3 \mathbf{i}} = \mathbf{i}$

g) $(6-\mathbf{i})+(4-3 \mathbf{i})$

Solution

$(6-\mathbf{i})+(4-3 \mathbf{i}) = 10-4\mathbf{i}$

h) $\dfrac{2 \mathbf{i}}{2+\mathbf{i}}$

Solution

$\dfrac{2 \mathbf{i}}{2+\mathbf{i}} = \dfrac25+\dfrac45\mathbf{i}$

i) $(-2+3 \mathbf{i})+(6-4 \mathbf{i})$

Solution

$(-2+3 \mathbf{i})+(6-4 \mathbf{i})$
$=4-\mathbf{i}$

j) $\dfrac{3-2 \mathbf{i}}{\mathbf{i}}$

Solution

$\dfrac{3-2 \mathbf{i}}{\mathbf{i}} = -2-3\mathbf{i}$

k) $(-2-\mathbf{i})+(-1+7 \mathbf{i})$

Solution

$(-2-\mathbf{i})+(-1+7 \mathbf{i}) =-2-1+(-1+7)\mathbb{i} = -3+6\mathbf{i}$

l) $(a+\mathbf{i} b)+(c+\mathbf{i} d)$

Solution

$(a+\mathbf{i} b)+(c+\mathbf{i} d) = (a+c)+(b+d) \mathbf{i}$

m) $1+\mathbf{i}-3 \mathbf{i}^2+\mathbf{i}^7$

Solution

$1+\mathbf{i}-3 \mathbf{i}^2+\mathbf{i}^7 = 4$

n) $\dfrac{-1+\mathbf{i} \sqrt{3}}{-1-\mathbf{i} \sqrt{3}}$

Solution

$\dfrac{-1+\mathbf{i} \sqrt{3}}{-1-\mathbf{i} \sqrt{3}} = -\dfrac12-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i}$

o) $(a+\mathbf{i} b)-(2-3 \mathbf{i})$

Solution

$(a+\mathbf{i} b)-(2-3 \mathbf{i}) = (a-2)+(b+3)\mathbf{i}$

p) $\left(-\dfrac{1}{2}+\mathbf{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$

Solution

$\left(-\dfrac{1}{2}+\mathbf{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = 1$

q) $(3+\mathbf{i})(2+4 \mathbf{i})$

Solution

$(3+\mathbf{i})(2+4 \mathbf{i}) = 2+14\mathbf{i}$

r) $(-1+\mathbf{i})^4$

Solution

$(-1+\mathbf{i})^4 = \Par{(-1+\mathbf{i})^2}^2$
$= \Par{-2\mathbf{i}}^2=-4$

s) $(1-\mathbf{i})(2+3 \mathbf{i})$

Solution

$(1-\mathbf{i})(2+3 \mathbf{i}) = 5+\mathbf{i}$

t) $\left(\dfrac{2+3 \mathbf{i}}{5+\mathbf{i}}\right)^4$

Solution

$\left(\dfrac{2+3 \mathbf{i}}{5+\mathbf{i}}\right)^4 = -\dfrac14$

u) $(2-\mathbf{i})(3+2 \mathbf{i})$

Solution

$(2-\mathbf{i})(3+2 \mathbf{i}) = 8+\mathbf{i}$

v) $\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}+\mathbf{i} \sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^8$

Solution

$\begin{aligned} \left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}+\mathbf{i} \sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^8 &=\dfrac{\left(\left({\sqrt{2+\sqrt{2}}+\mathbf{i} \sqrt{2-\sqrt{2}}}\right)^2\right)^4}{256}\\ &=\dfrac{\left(2+\sqrt{2}-2+\sqrt{2}+2\mathbf{i}\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}\right)^4}{256}\\ &=\dfrac{\left(2\sqrt{2}+2\mathbf{i}\sqrt{2}\right)^4}{256}\\ &=\dfrac{\left(2\sqrt{2}\right)^4\left(1+\mathbf{i}\right)^4}{256}\\ &=\dfrac{\left(1+\mathbf{i}\right)^4}{4} = \dfrac{-4}{4} = -1 \end{aligned}$

w) $(1-4 \mathbf{i})^2$

Solution

$(1-4 \mathbf{i})^2 = -15-8\mathbf{i}$

x) $\dfrac{1}{2-3 \mathbf{i}}$

Solution

$\dfrac{1}{2-3 \mathbf{i}} = \dfrac2{13}+\dfrac3{13}\mathbf{i}$

y) $\left(\dfrac{\sqrt{6}-\mathbf{i} \sqrt{2}}{2(1-\mathbf{i})}\right)^{12}$

Solution

$\begin{aligned} \left(\dfrac{\sqrt{6}-\mathbf{i} \sqrt{2}}{2(1-\mathbf{i})}\right)^{12} &=\left(\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-\mathbf{i}\right)}{2(1-\mathbf{i})}\right)^{12}\\ &=\dfrac1{64}\left(\dfrac{(\sqrt{3}-\mathbf{i})^2}{(1-\mathbf{i})^2}\right)^{6}\\ &=\dfrac1{64}\left(\dfrac{{2-2\sqrt{3}\mathbf{i}}}{-2\mathbf{i}}\right)^{6}\\ &=\dfrac1{64}\left(\sqrt{3}+\mathbf{i}\right)^{6}\\ &=\dfrac1{64}\left(\left(\sqrt{3}+\mathbf{i}\right)^{3}\right)^2\\ &=\dfrac1{64}\left(8\mathbf{i}\right)^2 = -1 \end{aligned}$

Exercice 7 : Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

a) La partie réelle de $2\mathbf{i}-3$ est $-3$ .

Solutions

$\text{Re}(2\mathbf{i}-3) = \text{Re}(-3+2\mathbf{i}) = -3$ : vrai

b) La partie imaginaire de $4+5i$ est $5i$ .

Solutions

$\text{Im}(4+5\mathbf{i})=5$ et pas $5i$ ! faux

c) Les entiers naturels sont des nombres complexes.

Solutions

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ donc, si $n\in\mathbb{N}$ alors $n\in\mathbb{C}$ et l'affirmation est vraie.

d) $(1+\mathbf{i})^2$ est un imaginaire pur.

Solutions

$(1+\mathbf{i})^2 = 1+2\mathbf{i}+\mathbf{i}^2 = 1+2\mathbf{i}-1=2\mathbf{i}$ : vrai car un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme $b\cdot i$ avec $b$ réel, $i$ étant l'unité imaginaire.

Par exemple, $i$ et $-3i$ sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle.

Exercice 8 : Dans chacun des cas suivants, déterminer les parties réelles et imaginaires du nombre $z$ .

$z=(3-\mathbf{i})^2$
$z=(2\mathbf{i}-1)(3+\mathbf{i})$
$z=3 \mathbf{i} (1 + \mathbf{i}) - 5 (2 - 3\mathbf{i})$

Solutions

$(3-\mathbf{i})^2 = 9-6\mathbf{i}+\mathbf{i}^2 = 8-6\mathbf{i}$
$(2\mathbf{i}-1)(3+\mathbf{i})=-5+5\mathbf{i}$
$3\mathbf{i}(1+\mathbf{i})-5(2-3\mathbf{i}) = -13+18\mathbf{i}$

Exercice 9 : Rechercher $x$ et $y\in \mathbb{R}$ tels que $\left(1-2\mathbf{i}\right)x+\left( 3+5\mathbf{i} \right)y = 1+3 \mathbf{i}$

Solution

$\left(x+3y\right)+\left(-2x+5y \right)\mathbf{i} = 1+3 \mathbf{i}$ $\iff \begin{cases} x+3y = 1\\-2x+5y=3\end{cases}$ $\iff \begin{cases} x=-\frac{4}{11}\\y=\frac{5}{11}\end{cases}$

Exercice 10 : Rechercher $x$ et $y\in \mathbb{R}$ tels que $\left(1-2\mathbf{i}\right)x-\left( 3+5\mathbf{i} \right)y = 1-3 \mathbf{i}$

Solution

$\begin{cases} x=\frac{14}{11}\\y=\frac{1}{11}\end{cases}$

Exercice 11 : Rechercher $z\in\mathbb{C}$ tel que $\left( 1- \mathbf{i} \right)z+2-3 \mathbf{i} = \left( 3+4 \mathbf{i} \right)z$

Solution

$\left( 1- \mathbf{i} \right)z+2-3 \mathbf{i} = \left( 3+4 \mathbf{i} \right)z$ $\iff \left( 1- \mathbf{i} \right)z-\left( 3+4 \mathbf{i} \right)z = -2+3 \mathbf{i}$ $\iff \left( -2- 5\mathbf{i} \right)z = -2+3 \mathbf{i}$ $\iff z = \frac{-2+3 \mathbf{i}}{ -2- 5\mathbf{i} }$ $\iff z = \frac{\left(-2+3 \mathbf{i}\right)\left( -2+ 5\mathbf{i} \right)}{ 29 }$ $\iff z = \frac{-11-16\mathbf{i}}{ 29 }$

Exercice 12 : Rechercher $z\in\mathbb{C}$ tel que $\left( 1- \mathbf{i} \right)z+3-2 \mathbf{i} = \left( 3+4 \mathbf{i} \right)z$

Solution

$z = \frac{-4-19\mathbf{i}}{ 29 }$

Exercice 13 : Vrai ou Faux ? Si l'énoncé est vrai, le justifier sinon le corriger.

a) soit $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$ , alors $\dfrac{1}{a+b\;\mathbf{i}}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}{\mathbf{i}}$

b) l'inverse de ${\mathbf{i}}$ est $-{\mathbf{i}}$

Solutions

a) Faux : $\dfrac1{a+{\mathbf{i}}b}=\dfrac{a-{\mathbf{i}}b}{a^2+b^2} = \dfrac{a}{a^2+b^2} - \dfrac{b}{a^2+b^2} \mathbf{i}$

b) Vrai : $\dfrac{1}{\mathbf{i}} = \dfrac{-\mathbf{i}}{\mathbf{i}\cdot (-\mathbf{i})} = \dfrac{-\mathbf{i}}{1}=-\mathbf{i}$

Exercice 14 : Rechercher les racines carrées complexes de :

$-7+6\sqrt{2} \mathbf{i}$
$1+\sqrt{3} \mathbf{i}$

Solution

1) RCC $(7+6\sqrt{2} \mathbf{i})= \begin{cases} \sqrt{2}+3\mathbf{i}\\-\sqrt{2}-3\mathbf{i}\end{cases}$

2) RCC $(1+\sqrt{3}\mathbf{i})= \begin{cases} \frac{\sqrt{6}+\mathbf{i}\sqrt{2}}{2}\\\frac{-\sqrt{6}-\mathbf{i}\sqrt{2}}{2}\end{cases}$

Exercice 15 : Rechercher les racines carrées complexes de :

$7+6\sqrt{2} \mathbf{i}$
$1-\sqrt{3} \mathbf{i}$

Solution

1) RCC $(7+6\sqrt{2} \mathbf{i})$ $= \begin{cases} 3+\mathbf{i}\sqrt{2}\\-3-\mathbf{i}\sqrt{2}\end{cases}$

2) RCC $(1-\sqrt{3}\mathbf{i})$ $= \begin{cases} \frac{\sqrt{6}-\mathbf{i}\sqrt{2}}{2}\\\frac{-\sqrt{6}+\mathbf{i}\sqrt{2}}{2}\end{cases}$

voir Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique

Exercice 16 : Rechercher le/les nombres complexes dont le carré vaut $2-2\sqrt{3} \mathbf{i}$

Solutions

$\Re{\left(2-2\sqrt{3} \mathbf{i}\right)} = 2$ ; $\Im{(2-2\sqrt{3} \mathbf{i})} = -2\sqrt{3} < 0$

et $|2-2\sqrt{3} \mathbf{i}|=4$ $\text{RCC}\left(2-2\sqrt{3} \mathbf{i}\right) = \mp\sqrt{\dfrac{4+2}{2}}\pm \mathbf{i} \sqrt{\dfrac{4-2}{2}} = \mp\sqrt3\pm \mathbf{i}$

voir Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique

Exercice 17 : Calculez les modules suivants :

$|-3+4 \mathbf{i}|$
$|6-8 \mathbf{i}|$
$|5+\mathbf{i}|$
$|-3 \mathbf{i}|$
$|\sqrt{2}+\mathbf{i}|$
$|\sqrt{2}+1|$
$\left|\dfrac{1}{4+3 \mathbf{i}}\right|$
$\left|\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{i}\right|$
$|-2+2 \sqrt{3} \mathbf{i}|$
$\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{i}\right|$
$\left|\dfrac{1+\mathbf{i}}{1-2 \mathbf{i}}\right|$

Solution

$|-3+4 \mathbf{i}| = \sqrt{(-3)^2+4^2} = 5$
$|6-8 \mathbf{i}|= \sqrt{6^2+(-8)^2} = 10$
$|5+\mathbf{i}| = \sqrt{26}$
$|-3 \mathbf{i}| = 3$
$|\sqrt{2}+\mathbf{i}| = \sqrt{3}$
$|\sqrt{2}+1|=\sqrt{2}+1$
$\left|\dfrac{1}{4+3 \mathbf{i}}\right| = \left|\dfrac4{25}-\dfrac3{25} \mathbf{i}\right| =\dfrac15$
$\left|\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{i}\right| = 1$
$|-2+2 \sqrt{3} \mathbf{i}| = 4$
$\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{i}\right| = 1$
$\left|\dfrac{1+\mathbf{i}}{1-2 \mathbf{i}}\right| = \dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Exercice 18 : Calculer le module de :

$\mathbf{i} \left( 1+ \mathbf{i} \right)$
$\left( 1+ \mathbf{i} \right)^{16}$

Solution

1. il suffit d'utiliser la propriété $|z\cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ .

ici : $|\mathbf{i} \cdot \left( 1+ \mathbf{i} \right)| = |\mathbf{i}|\cdot |\left( 1+ \mathbf{i} \right)| = 1\cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$

2. de même : $|z^n| = |z|^n$ . (voir la propriété ici)

donc : $|\left( 1+ \mathbf{i} \right)^{16}| = |1+ \mathbf{i} |^{16} = \left(\sqrt{1^2+1^2}\right)^{16} = \left(\sqrt{2}\right)^{16} = 2^{\tfrac12\cdot 16} = 2^8$

Exercice 19 : Calculs de modules de nombres complexes :

a) Sachant que $z_1=-3-2\mathbf{i}$ et $z_2=1-3\mathbf{i}$

Solution

$\begin{align*} |z_1| &= \sqrt{13} \\ |z_1 - z_2| &= \sqrt{17} \\ |z_1 + 2z_2| &= \sqrt{65} \\ |z_1 z_2| &= \sqrt{130} \end{align*}$

b) Sachant que $z_1=5+\mathbf{i}$ et $z_2=-2+3\mathbf{i}$ , vérifiez que $\left|z_1\right|^2=2\left|z_2\right|^2$

Solution

c) Soit $k \in \mathbb{R}, z_1=-1+8\mathbf{i}$ et $z_2=(1-k)+7\mathbf{i}$ .
Déterminez les valeurs de $k$ telles que $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$ .

Solution

$\begin{aligned}[t]\left| -1+8\mathbf{i} \right| = \left| (1-k)+7\mathbf{i} \right| &\iff 65=(1-k)^2+49 \\ &\iff k=-3 \text{ ou } k=5\end{aligned}$

d) Soit $z=x+\mathbf{i} y$ avec $x$ et $y$ des réels. Montrez que: $|z-2 \mathbf{i}|=|z-1| \iff 2 x-4 y+3=0$

Solution

$\begin{aligned} |z-2 \mathbf{i}|=|z-1| &\iff |x+\mathbf{i} y-2 \mathbf{i}|=|x+\mathbf{i} y-1| \\ &\iff |x+(y-2)\mathbf{i} |=|(x-1)+\mathbf{i} y| \\ &\iff x^2+(y-2)^2=(x-1)^2+y^2 \\ &\iff x^2+y^2-4y+4=x^2+y^2-2x+1\\ &\iff 2x-4y+3=0\\ \end{aligned}$

e) Résolvez dans $\mathbb{R}$ : $|11+2 \mathbf{i}|=|x+1+5 \mathbf{i}|$ .

Solution

$x=-11$ ou $x=9$

f) Résolvez dans $\mathbb{C}$ : $\sqrt{5}|z|+\mathbf{i} z=3+\mathbf{i}$ .

Solution

$z=1+2\mathbf{i}$ ou $z=1-\dfrac12 \mathbf{i}$

Exercice 20 : Résoudre $|z|-z=1+2 \mathbf{i}$

Solution

$\begin{align*} |x+y\mathbf{i}|-(x+y\mathbf{i})=1+2 \mathbf{i} &\iff \sqrt{x^2+y^2}-x-y\mathbf{i}=1+2 \mathbf{i} \\ &\iff \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}-x=1\\-y=2\end{cases} \\ &\iff \sqrt{x^2+4}=x+1 \end{align*}$

la ou les solutions éventuelles doivent vérifier $x+1\geq 0$ ( $x^2+4$ étant toujours positif)

mise au carré des deux membres de l'égalité : $x^2+4=(x+1)^2$

après calculs, on trouve $x=\frac32$

et la solution attendue est $z=\dfrac32-2\mathbf{i}$

Exercice 21 : Après avoir posé $z=a+b.\mathbf{i}$ avec $a,b\in\mathbb{R}$ , prouver que $\left|z^2\right| = \left|z\right|^2$

Solution

$\begin{align*} |z^2| &= \sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2} \\ &= \sqrt{a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2} \\ &= \sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4} \\ &= \sqrt{(a^2+b^2)^2} = a^2+b^2 \end{align*}$ et $|z| = \sqrt {a^2+b^2}\implies |z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2$ cqfd

Exercice 22 : Calculer le module de :

$\mathbf{i} \left( 1- \mathbf{i} \right)$
$\left( 1-\mathbf{i} \right)^{18}$

Solution

Propriétés du module

1. $|\mathbf{i} \left( 1+ \mathbf{i} \right) | = |\mathbf{i}|\cdot |1-\mathbf{i}| = \sqrt{2}$

2. $|\left(1 - \mathbf{i}\right)^{18}| = |1 - \mathbf{i}|^{18} = \left(\sqrt{2}\right)^{18} = 2^9 = 512$

autre méthode () $\begin{align*} |\left(1 - \mathbf{i}\right)^{18}| &= \left|\left(\left(1 - \mathbf{i}\right)^2\right)^{9}\right| \\ &= |\left(-2\mathbf{i}\right)^{9}| \\ &= |-2^9\cdot\mathbf{i}^{9}| \quad (\mathbf{i}^{9}=\mathbf{i})\\ &= |-2^9\cdot \mathbf{i}| = 2^9 =512 \end{align*}$

Exercice 23 : Résoudre $|z|+z=2+ \mathbf{i}$

Solution

$\begin{align*} |x+y\mathbf{i}|+(x+y\mathbf{i})=2+ \mathbf{i} &\iff \sqrt{x^2+y^2}+x+y\mathbf{i}=2+ \mathbf{i} \\ &\iff \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}+x=2\\y=1\end{cases} \\ &\iff \sqrt{x^2+1}=2-x \end{align*}$

la ou les solutions éventuelles doivent vérifier $2-x\geq 0$ ( $x^2+1$ étant toujours positif)

mise au carré des deux membres de l'égalité : $x^2+1=(2-x)^2$

après calculs, on trouve $x=\frac34$

et la solution attendue est $z=\dfrac34+\mathbf{i}$

Exercice 24 : Vrai ou faux? Si l'énoncé est correct, le justifier sinon le corriger.

Si $z$ est un nombre complexe, alors :

a) $z$ est un réel si et seulement si $z=\overline{z}$

Solution

Pour montrer cela, nous devons montrer deux choses:

Si $z$ est un réel, alors $z = \overline{z}$ .
Si $z = \overline{z}$ , alors $z$ est un réel.

Preuve pour 1: Soit $z$ un nombre réel. Les nombres réels n'ont pas de partie imaginaire. Ainsi, pour $z$ un réel, on peut écrire $z = a + 0i$ , où $a$ est un réel. Le conjugué de $z$ est donné par $\overline{z} = a - 0i = a$ . Donc, pour tout réel $z$ , $z = \overline{z}$ .

Preuve pour 2: Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = \overline{z}$ . Écrivons $z$ sous la forme $z = a + bi$ , où $a$ et $b$ sont des réels. Le conjugué de $z$ est donné par $\overline{z} = a - bi$ . Si $z = \overline{z}$ , alors $a + bi = a - bi$ . Pour que cette équation soit vraie, la partie imaginaire de $z$ doit être égale à zéro, c'est-à-dire $bi = 0$ . La seule manière pour que cela se produise est que $b = 0$ , et donc $z = a$ , un réel. Ainsi, si $z = \overline{z}$ , alors $z$ est un réel.

En combinant les preuves 1 et 2, nous concluons que $z$ est un réel si et seulement si $z = \overline{z}$ .

b) $z+\overline{z}=2\cdot \text{Re}(z)$

Solution

Soit $z=a+b\mathbf{i}$ . $z+\overline{z}=a+b\mathbf{i} +a-b\mathbf{i} = 2a = 2 \cdot \text{Re}(z)$

c) $\overline{z} - z = 2 \: {\mathbf{i}} \cdot \text{Im}(\overline{z})$

Solution

Soit $z=a+b\mathbf{i}$ . $\overline{z} - z = a - b\mathbf{i} - a - b \mathbf{i} = -2b\mathbf{i} = 2 \mathbf{i} (-b) = 2\cdot \mathbf{i} \cdot \text{Im}(\overline{z})$

d) le module de l'inverse d'un nombre complexe est égal à l'inverse du module de ce même complexe.

Solution

à montrer : si $z$ est un nombre complexe non nul, alors: $\begin{array}{rl} |z^{-1}| & = \left|\dfrac{1}{a+b.i}\right| \\ & = \left|\dfrac{a-b.i}{a^2+b^2}\right| \\ & = \dfrac{1}{a^2+b^2}\left|a-b.i\right| \\ & = \dfrac{1}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ & = \dfrac{1}{|z|} \end{array}$ Plus élégamment : $|z^{-1}| = \overbrace{\dfrac{|z^{-1}|\cdot|z|}{|z|} = \dfrac{|z^{-1} \cdot z|}{|z|}}^{\star} = \dfrac{|1|}{|z|} = \dfrac{1}{|z|}$

$\star$ : le produit du module de deux nombres complexes est le module du produit de ces complexes

Exercice 25 :

Quels sont les complexes dont le carré est égal au conjugué ?
Démontrer qu'un complexe est de module 1 ssi (si et seulement si) son inverse est aussi son conjugué.
Soit $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ . Prouver que $\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}=\overline{z_1\cdot z_2}$

Solution

1. Soit $z$ un nombre complexe que l'on écrit sous sa forme algébrique : $z = a + bi$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Le conjugué de $z$ est donné par : $\overline{z} = a - bi$ .

On cherche les nombres complexes $z$ tels que $z^2 = \overline{z}$ .

Calculons $z^2$ :

$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$

Ainsi, pour $z^2 = \overline{z}$ , nous devons avoir :

$\left\{ \begin{array}{lr} a^2 - b^2 = a & [1]\\ 2ab = -b & [2] \end{array} \right.$ ou $\left\{ \begin{array}{lr} a^2 - b^2 = a & [1]\\ (2a+1)b=0 & [2] \end{array} \right.$

Si $b \neq 0$ , alors $a = -\dfrac{1}{2}$ (ligne [2]) et $b = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ ou } b = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (ligne [1])

Les solutions sont alors :

$z_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \text{ et } z_2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

Si $b = 0$ , alors [1] → $a^2-a=0 \iff a=0 \text{ ou } a=1$

Les solutions sont alors : $z_3= 0+0.i=0$ et $z_4= 1+0.i = 1$

On a identifié quatre solutions possibles pour le complexe $z$ :

$z_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
$z_2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
$z_3 = 0$ (ou, de manière équivalente, $0 + 0i$ )
$z_4 = 1$ (ou, de manière équivalente, $1 + 0i$ )

2. Soit $z = a + bi$

Condition nécessaire :

Supposons que $|z| = 1$ . Alors, $a^2 + b^2 = 1$ et on a,

$\begin{array}{rl} z^{-1} & = \dfrac{1}{z} \\ & = \dfrac{1}{a+bi} \\ & = \dfrac{a-bi}{a^2+b^2} \\ & = a - bi \\ & =\overline{z} \end{array}$

cqfd
Condition suffisante :

Supposons que $z^{-1} = \overline{z}$ . On a donc, $\dfrac{a-bi}{a^2+b^2} = a-bi$

Cela implique que : $a^2 + b^2 = 1$

D'où $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = 1$ .

cqfd

3. Soit $z_1$ et $z_2$ sous leur forme algébrique.

Soit $z_1 = a + b\ \mathbf{i}$ et $z_2 = c + d\ \mathbf{i}$ où $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ .

Étape 1: Calculer $\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ $\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (a - b\ \mathbf{i})(c - d\ \mathbf{i})=(ac - bd) - (ad + bc)\ \mathbf{i}$

Étape 2: Calculer $z_1 \cdot z_2$ $z_1 \cdot z_2 = (a + b\ \mathbf{i})(c + d\ \mathbf{i})= (ac - bd) + (ad + bc)\ \mathbf{i}$

Finalement : $\begin{array}{rcl} \overline{z_1 \cdot z_2} & = & \overline{(ac - bd) + (ad + bc)\ \mathbf{i}} \\ & = & (ac - bd) - (ad + bc)\ \mathbf{i} \\ & = & \overline{z_1}\cdot \overline{z_2} \end{array}$

Exercice 26 : On pose $z_1=3-\mathbf{i}, z_2=1+2 \mathbf{i}, z_3=-2 \mathbf{i}$ . Écrivez sous forme algébrique :

$3 z_1$
$z_1 \overline{z_2}$
$z_1-z_3$
$\mathbf{i} z_1^2+\dfrac{z_2}{z_3}$
$2 z_1+z_2$
$\left(z_1+{\overline{z_2}}^2\right)^2$
$2 z_2+\mathbf{i} z_3$
$z_3\left(z_1+\overline{\left(\dfrac{1}{z_2}\right)}\right)^2$
$\mathbf{i}\left(z_2 z_3\right)$
$\mathbf{i} z_1+\mathbf{i} z_2$
$\left(z_1+{\overline{z_2}}^2+\dfrac{\mathbf{i}}{z_1+z_3}\right)^2$
$z_1+\overline{z_2}$
$z_1+\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1^2}+\dfrac{1}{\mathbf{i} \overline{z_1}}$
$\mathbf{i} z_1+\overline{z_3}$

Solution

$3 z_1 = 9-3\mathbf{i}$
$z_1 \overline{z_2} = (3-\mathbf{i}) \cdot (1-2 \mathbf{i}) = 1-7\mathbf{i}$
$z_1-z_3 = 3+i$
$\mathbf{i} z_1^2+\dfrac{z_2}{z_3} = 5+\dfrac{17}{2}\mathbf{i}$
$2 z_1+z_2 = 7$
$\left(z_1+{\overline{z_2}}^2\right)^2 = -25$
$2 z_2+\mathbf{i} z_3 = 4+4\mathbf{i}$
$z_3\left(z_1+\overline{\left(\dfrac{1}{z_2}\right)}\right)^2 = -\dfrac{192}{25}-\dfrac{494}{25}\mathbf{i}$
$\mathbf{i}\left(z_2 z_3\right) = 2+4\mathbf{i}$
$\mathbf{i} z_1+\mathbf{i} z_2 = -1+4\mathbf{i}$
$\left(z_1+{\overline{z_2}}^2+\dfrac{\mathbf{i}}{z_1+z_3}\right)^2 = - \dfrac{70}{3} + \dfrac{29}{18}\mathbf{i}$
$z_1+\overline{z_2}= 4-3\mathbf{i}$
$z_1+\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1^2}+\dfrac{1}{\mathbf{i} \overline{z_1}}= \dfrac{82}{25}-\dfrac{57}{50}\mathbf{i}$
$\mathbf{i} z_1+\overline{z_3}= 1+5\mathbf{i}$

Opérations et Formes algébriques dans $\mathbb{C}$

Racines carrées

Modules

Conjugué

Opérations et Formes algébriques dans C\mathbb{C}

Racines carrées

Modules

Conjugué

Opérations et Formes algébriques dans $\mathbb{C}$