Module d'un nombre complexe

Soit $ z = x + \mathbf{i}y $ un nombre complexe où $ x $ est la partie réelle et $ y $ est la partie imaginaire. Le module de $ z $ est donné par : \[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

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\author{Frédéric Lancereau}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
\begin{document}
\psset{unit=1pc}
\begin{pspicture}(-8,-8)(9,9)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-7,-7)(7,7)
\pstGeonode[PointName=none,linecolor=blue](6;138){A} 
\uput[ul](A){$a+bi$}
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](0,0){O}(0,7){B}(7,0){C}
\ncline[linecolor=blue,arrows=<->,arrowsize=5pt 2,arrowlength=1.5]{O}{A}
\ncput*{$|z|$}
\pstProjection[PointName=none,linecolor=magenta]{C}{O}{A}[D]
\pstProjection[PointName=none,linecolor=magenta]{B}{O}{A}[E]
\pstLineAB[linestyle=dashed,linecolor=blue]{A}{D}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linecolor=blue]{A}{E}
\pscircle[linestyle=dashed,linecolor=red](O){6}
\uput[d](D){$a$}
\uput[r](E){$b$}
\uput[u](B){$\Im$}
\uput[dr](C){$\Re$}
\psdots[linecolor=blue](A)
\end{pspicture}
\end{document}

Propriétés du module

1) Le produit d'un complexe et de son conjugué est égal au carré du module.

$$\bbox[lightyellow,5px]{ z \times \overline{z}=|z|^2 \iff \underbrace{(x+\boldsymbol{i} . y) \times(x-\boldsymbol{i} . y)=x^2+y^2}_{\text {Cette formule est à retenir }} }$$

2) Le carré du module d'un nombre complexe est égal au module de son carré.

Pour tout nombre complexe $ z $, on a : \[\bbox[lightyellow,5px]{ \left| z^2 \right| = |z|^2 }\]

Preuve

Le carré du module d'un nombre complexe s'écrit $|z|^2$.

Si $z=a+b\ i$ alors $|z|^2 = a^2+b^2$. Par ailleurs, le module de son carré est $|z^2|$ où $z^2=a^2-b^2+2ab\ i$ $$\bbox[lightgreen,5px]{\begin{aligned}|z^2| &= \sqrt{\left(a^2-b^2\right)^2+4a^2b^2}\\ &= \sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4}\\ &= \sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}\\ &= a^2+b^2 = |z|^2\end{aligned} }$$

3) Le module du produit est le produit des modules

Pour deux nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ quelconques, on a : \[\bbox[lightyellow,5px]{ \left| z \cdot z^{\prime} \right| = |z| \cdot |z^{\prime}| }\]

Preuve

à partir de la propriété $ |z|^2 = z \cdot \bar{z} $

En multipliant $ z $ par $ z^{\prime} $ et en prenant le module au carré, on obtient : \[\bbox[lightgreen,5px]{ \left| z \cdot z^{\prime} \right|^2 = z \cdot z^{\prime} \cdot \overline{z \cdot z^{\prime}} }\] En utilisant la propriété des conjugués, cela devient : \begin{equation*} \bbox[lightgreen,5px]{\begin{array}{rcl} z \cdot z^{\prime} \cdot \bar{z} \cdot \bar{z^{\prime}} & = & (z \cdot \bar{z}) \cdot (z^{\prime} \cdot \bar{z^{\prime}}) \\ & = & |z|^2 \cdot |z^{\prime}|^2 \end{array}} \end{equation*}

De là, en prenant la racine carrée des deux côtés et en tenant compte de la positivité du module, on arrive à la conclusion : \[\bbox[lightgreen,5px]{ \left| z \cdot z^{\prime} \right| = |z| \cdot |z^{\prime}| }\]

4) Le module d'un quotient est le quotient des modules

Pour deux nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ quelconques, on a : \[\bbox[lightyellow,5px]{ \left| \frac{z}{z^{\prime}}\right| = \frac{|z|}{|z^{\prime}|} }\]

5) Le module de la puissance de $z$ est égal à la puissance du module de $z$. $$\bbox[lightyellow,5px]{ \forall n \in \mathbb{N},\left|z^n\right|=|z|^n }$$

Preuve

La démonstration se fait par récurrence :

Pour $\mathrm{n}=0:\left\{\begin{array}{c}|z|^0=1 \\ \left|z^0\right|=|1|=1\end{array}\right.$ donc la formule est vraie au rang $\mathrm{n}=0$
Caractère héréditaire de la formule : on suppose que $\left|z^n\right|=|z|^n$ au rang $\mathrm{n}$.
Alors $\bbox[lightgreen,5px]{\left|z^{n+1}\right|=\left|z^n \times z\right|=\left|z^n\right| \times|z|=|z|^n \times|z|=|z|^{n+1}}$ en utilisant la première formule puis l'hypothèse de récurrence

Donc $\left|z^n\right|=|z|^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

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