Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique

La formule générale permettant de trouver rapidement les racines carrées complexes d'un nombre complexe $z$ ($RCC(z)$) donné au format algébrique est donné par :

Soit $z=x+yi$, alors :

si $y>0$ alors $r_1=\quad \sqrt{\dfrac{|z|+x}{2}}+i\sqrt{\dfrac{|z|-x}{2}} \quad \text{et} \quad r_2=-r_1$
si $y<0$ alors $r_1=-\sqrt{\dfrac{|z|+x}{2}}+i\sqrt{\dfrac{|z|-x}{2}} \quad \text{et} \quad r_2=-r_1$

d'où vient cette formule ?

Soit $r=a+bi$ une racine carrée de $z$, alors :

\begin{align} r^2 = z &\iff (a+bi)^2 = x+yi\\ &\iff a^2-b^2+2abi = x+yi\\ &\iff \begin{cases} a^2-b^2 = x \\ 2ab = y \end{cases} \end{align}

on pourrait isoler une des deux variables ($a$ ou $b$) de la deuxième équation et l'injecter dans la première, mais ce n'est pas un bon plan !

une manière élégante d'exprimer $a$ et $b$ en fonction de $x$ et $y$ est d'utiliser la propriété suivante : \[|r|^2 = |r^2| \ \text{avec} \ r\in\mathbb{C}\]

\begin{align} |r|^2 = |r^2| &\iff |r|^2 = |z| \\ &\iff \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2 = |z|\\ &\iff a^2+b^2 = |z|\\ \end{align} le système précédent se réécrit alors : \[\begin{cases} a^2-b^2=x \\ a^2+b^2=|z| \\ 2ab=y \end{cases}\]

La suite au tableau

Exemple : Pour trouver les racines carrées complexes de $ z = 3 + 4\mathrm{i} $, nous calculons d'abord le module de $ |z| $: \[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Puisque $ y > 0 $ (ici, $ y = 4 $), nous utilisons la première formule :

\begin{align*} r_1 &= \sqrt{\frac{|z| + x}{2}} + \mathrm{i} \sqrt{\frac{|z| - x}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} + \mathrm{i} \sqrt{\frac{5 - 3}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{8}{2}} + \mathrm{i} \sqrt{\frac{2}{2}}\\ &= \sqrt{4} + \mathrm{i} \sqrt{1}\\ &= 2 + \mathrm{i}\\ \end{align*}

Et enfin, $ r_2 = -r_1 = -2 - \mathrm{i} $.

Les racines carrées complexes de $ z = 3 + 4\mathrm{i} $ sont $ r_1 = 2 + \mathrm{i} $ et $ r_2 = -2 - \mathrm{i} $

Exemple : Pour trouver les racines carrées complexes de $ z = 8 - 6 \mathrm{i} $, nous calculons d'abord le module de $ |z| $: \[ |z| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = 10 \]

Puisque $ y < 0 $ (ici, $ y = -6 $), nous utilisons la seconde formule :

\begin{align*} r_1 &= \sqrt{\frac{|z| + x}{2}} - \mathrm{i} \sqrt{\frac{|z| - x}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{10 + 8}{2}} + \mathrm{i} \sqrt{\frac{10 - 8}{2}}\\ &= 3 - \mathrm{i}\\ \end{align*}

Et enfin, $ r_2 = -r_1 = -3 + \mathrm{i} $.

Exercices sur les recaines carrées d’un nombre complexe (forme aglébrique)