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Forme algébrique d'un nombre complexe

lien vers les exercices

Lorsqu'on aborde les nombres complexes sous forme algébrique, voici les points principaux généralement couverts par les exercices de base :

1. Définition et représentation :

  1. Comprendre la forme algébrique z=a+b i où i est l'unité imaginaire.
  2. Représentation graphique dans le plan complexe (ou plan de Gauss).

2. Opérations élémentaires : voir → Opérations élémentaires

  1. Addition et soustraction de nombres complexes.
  2. Multiplication, inversion et division.
  3. Élever un complexe à une puissance.
  4. Rechercher les racines carrées de nombres complexes : voir → Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique

3. Conjugaison : voir → Conjugué d’un nombre complexe

  1. Définition et propriétés du conjugué d'un nombre complexe.
  2. Opérations impliquant des conjugaisons.

4. Module : voir → Module d’un nombre complexe

  1. Calcul du module d'un nombre complexe.
  2. Relation entre le module, la partie réelle et la partie imaginaire.

En maîtrisant ces points fondamentaux, on se dote d'une base solide pour aborder des concepts plus avancés sur les nombres complexes.

Définition et vocabulaire

Forme algébrique d'un nombre complexe :

  • Un nombre complexe est un nombre de la forme x+y i, où x et y désignent des réels et i un nombre imaginaire vérifiant i2=−1.
  • L'ensemble des complexes est noté C.
  • Un nombre complexe étant donc caractérisé par deux réels, il est naturel de lui associer un point (ou un vecteur) dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
  • Le plan muni d'un tel repère orthonormé est appelé plan complexe ou encore plan de Gauss.
    • En effet, à chaque complexe z=a+b i, on peut associer un unique point (celui de coordonnées (a;b))
    • et à chaque point M(x;y) du plan, on peut associer un unique complexe z=x+y i.
  • On dit que le plan et C sont en bijection (On dit aussi que le plan et C sont isomorphes).

Tout nombre z∈C admet une unique écriture de la forme x+y i (appelée forme algébrique)

  1. La Partie réelle (notée Re(z)) est la composante x du nombre complexe.
  2. La Partie imaginaire (notée Im(z)) est la composante y du nombre complexe.
  3. Un nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.
  4. Un nombre imaginaire pur a une partie réelle nulle.
  5. Le nombre complexe zéro a ses deux parties (réelle et imaginaire) égales à zéro.

Exemples :

  1. Re(−1+2 i)=−1
  2. Im(−1+2 i)=2
  3. −3=−3+0 i
  4. Re(−5 i)=0
  5. 0=0+0 i

Soit, un point M de coordonnées (x;y) :

  1. le nombre complexe z=x+y i est l'affixe du point M ou du vecteur →w=→OM.
  2. le point M(x;y) est l'image du nombre complexe z=x+y i.
  3. l'affixe du vecteur →MN est zN−zM.
  4. Les points d'affixe zM et −zM sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
  5. le milieu K du segment [MN] a pour affixe zM+zN2.

Représentation graphique

code source de l'image

code source de l'image 

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[step=1cm,gray,very thin,dashed] (-1,-1) grid (4,3);
       \draw[->,>=latex, gray] (-0.5,0)--(4.5,0);
       \draw[->,>=latex, gray] (0,-0.5)--(0,3.5);
       \draw[dashed] (3,2)--(3,0);
       \draw[dashed] (3,2)--(0,2);
       \fill (1,0) circle (2pt);
       \fill (0,0) circle (2pt);
       \fill (0,1) circle (2pt);
       \fill (3,2) circle (2pt);
       \fill (3,0) circle (2pt);
       \fill (0,2) circle (2pt);
       \node at (0,0) [below left] {\small $0 = 0 + 0\cdot \text{i}$}; 
       \node at (1,0) [below] {\small $1 = 1 + 0\cdot \text{i}$}; 
       \node at (0,1) [left] {\small $\text{i} = 0 + 1\cdot \text{i}$}; 
       \node at (3,0) [below] {$x = x + 0\cdot \text{i}$}; 
       \node at (0,2) [left] {$y\cdot\text{i}=0 + y\cdot \text{i}$}; 
       \node at (3,2) [above right] {$z=x+y\cdot \text{i}$}; 
       \node at (4.5,0) [below] {$\mathbb{R}$}; 
       \node at (0,3.5) [left] {$i \mathbb{R}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}



Opérations dans C

Égalité : a+b⋅i=c+d⋅i⟺a=c et b=d

autrement dit : si z=z′ alors Re(z)=Re(z′) et Im(z)=Im(z′).

Addition : (a+b⋅i)±(c+d⋅i)=(a±c)+(b±d)⋅i

Produit : (a+b⋅i)⋅(c+d⋅i)=(ac−bd)+(ad+bc)⋅i

Quotient : a+b⋅ic+d⋅i=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2⋅i (voir → methode_pour_diviser_deux_nombres_complexes)

Conjugué : si z=a+b⋅i, alors ¯z=a−b⋅i (voir → Conjugué d'un nombre complexe)

Module : |z|=√a2+b2 (voir → Module d'un nombre complexe)

Méthode pour diviser deux nombres complexes

Diviser deux nombres complexes consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour éliminer la partie imaginaire du dénominateur. Voici le processus détaillé :

1. Conjuguer le dénominateur : Si vous avez une fraction z1z2 où z1=a+bi et z2=c+di, le conjugué de z2 est ¯z2=c−di.

2. Multiplier par le conjugué : Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z2 : z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)

3. Simplifier le dénominateur : Le produit (c+di)(c−di)=c2−(di)2=c2−d2i2=c2+d2 (car i2=−1).

Ainsi, le dénominateur devient c2+d2.

4. Distribuer le numérateur : (a+bi)(c−di)=ac−adi+bci−bdi2=ac−adi+bci+bd=(ac+bd)+(bc−ad)i

5. Écrire la fraction simplifiée : (a+bi)(c−di)c2+d2=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2

6. Séparer en parties réelle et imaginaire : =ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i

Donc, la division de z1 par z2 donne :

z1z2=a+bic+di=(ac+bdc2+d2)+(bc−adc2+d2)i

La raison pour laquelle on ne peut pas laisser l'écriture fractionnaire comme a+bic+di est qu'il n'est pas conventionnel ou pratique de travailler avec des fractions complexes où le dénominateur est un nombre complexe. Multiplier par le conjugué permet de convertir le dénominateur en un nombre réel, simplifiant ainsi l'expression et facilitant les calculs ultérieurs.

Représentations graphiques

Soient z1 et z2 deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par z1=x1+iy1 et z2=x2+iy2.

Ainsi →w1(x1y1) et →w2(x2y2).

Addition : →w1+→w2 a pour coordonnées (x1+x2y1+y2).

Donc : z→w1+→w2=x1+x2+i(y1+y2)=(x1+iy1)+(x2+iy2)=z1+z2.

code source de l'image

code source de l'image 

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[step=1cm,black,thin,dotted] (-4,-2) grid (2,3);
\draw[->,>=latex, gray] (-4.5,0)--(2.5,0);
\draw[->,>=latex, gray] (0,-2.5)--(0,3.5);
\fill[red] (1,2) circle (1pt) node [above] { $z_1$};
\draw[-{Latex[length=2mm]},red] (0,0) -- (1,2) node [midway,below,sloped] {\(\overrightarrow{w_1}\)};
\fill[blue] (-3,-1) circle (1pt) node [below] { $z_2$};
\draw[-{Latex[length=2mm]},blue] (0,0) -- (-3,-1) node [midway,below,sloped] {\(\overrightarrow{w_2}\)};
\fill[] (-2,1) circle (1pt) node [above left] { $z_{\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}}$};
\draw[-{Latex[length=2mm]}] (0,0) -- (-2,1) node [midway,above,sloped] {\(\overrightarrow{w_1+w_2}\)};
\draw[dashed,gray] (-3,-1) -- (-2,1) -- (1,2);
\end{tikzpicture}
\end{document}



Produit par un scalaire : Soit k∈R, k⋅→w1 a pour coordonnées (k⋅x1k⋅y1).

Donc : zk⋅→w1=k⋅x1+ik⋅y1=k⋅(x1+iy1)=k⋅z1.

code source de l'image

code source de l'image 

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[step=1cm,black,thin,dotted] (-4,-2) grid (2,3);
\draw[->,>=latex, gray] (-4.5,0)--(2.5,0);
\draw[->,>=latex, gray] (0,-2.5)--(0,3.5);
\fill[red] (2,-1) circle (1pt) node [below] { $z_1$};
\draw[thick,-{Latex[length=2mm]},red] (0,0) -- (2,-1) node [midway,below,sloped] {\(\overrightarrow{w}_{1}\)};
\fill[] (-4,2) circle (1pt) node [above] { $z_{-2\cdot \overrightarrow{w_1}}$};
\draw[thick,-{Latex[length=2mm]}] (0,0) -- (-4,2) node [midway,above,sloped] {\(-2\cdot\overrightarrow{w_1} \)};
\end{tikzpicture}
\end{document}



Exemples graphiques

Images de deux nombres complexes, de leurs modules et de leurs sommes/différences :

code source de l'image

code source de l'image 

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[step=1cm,black,thin,dotted] (-4,-3) grid (4,3);
\draw[->,>=latex, gray] (-4.5,0)--(4.5,0);
\draw[->,>=latex, gray] (0,-3.5)--(0,3.5);
\fill (0,0) circle (2pt) node [below left] { $0$};
\fill[red] (1,2) circle (2pt) node [above, xshift=2mm] { $z_1 = 1+2i$};
\fill[blue] (-3,-1) circle (2pt) node [above] { $z_2 = -3-i$};
\fill[blue] (-3,1) circle (2pt) node [above] { $\overline{z_2}=-3+i$};
\fill[orange] (-2,1) circle (2pt) node [below right, xshift=-4mm] { $z_1+z_2 = -2+i$};
\fill[orange] (-2,-1) circle (2pt) node [below right, xshift=-4mm] { $\overline{z_1+z_2} = -2-i$};
\fill[brown] (4,3) circle (2pt) node [above left] { $z_1-z_2 = 4+3i$}; 
\fill[brown] (4,-3) circle (2pt) node [below left] { $\overline{z_1-z_2} = 4-3i$};
\node at (4.5,0) [below] {$\mathbb{R}$}; 
\node at (0,3.5) [left] {$i \mathbb{R}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}



Exercice type

Soit le nombre complexe z=1−i√3+i. Calculer Re(z) et Im(z).

Solution

Solution

z=1−i√3+i=1−i√3+i⋅√3−i√3−ibinome conjugué=(1−i)⋅(√3−i)4=√3−14−i⋅√3+14

On trouve : Re(z)=√3−14 et Im(z)=−√3+14

Le cours du tableau

  1. pres-complexe-1.pdf
  2. pres-complexe-2.pdf
  3. pres-complexe-3.pdf
  • algebre/nombres-complexes/forme-algebrique.txt
  • Dernière modification : 2024/09/28 18:13
  • de Frédéric Lancereau