Forme trigonométrique
Soit \(z\) un nombre complexe non nul : \(z=a+b\ \mathbf{i} \).
On exprime \(a\) et \(b\) en fonction du module \(|z|\) de \(z\) et de son argument principal \(\theta\) comme suit :
\[ \begin{aligned} z =a+b\ \mathbf{i} &=|z| \cos(\theta) + |z| \sin(\theta) \cdot\ \mathbf{i} \\ &=|z|(\cos(\theta)+\ \mathbf{i}\sin(\theta)) \\ &= r\cdot \text{cis}(\theta) \quad \text{(notation abrégée où \(r=|z|\))} \end{aligned} \]
L'argument d'un nombre complexe \( z \) correspond à l'angle formé entre l'axe des réels positifs (l'axe des abscisses) et la droite passant par l'origine et le point associé à \( z \).
Pour convertir le nombre complexe \( z = 1 + \mathbf{i}\sqrt{3} \) en forme trigonométrique, nous devons déterminer deux choses :
1. Le module \( r \) : qui est la distance de \( z \) à l'origine dans le plan complexe. 2. L'argument \( \theta \) : qui est l'angle formé par le segment reliant \( z \) à l'origine et l'axe des réels.
1. Calcul du module \( r \): \[ r = |z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \]
2. Calcul de l'argument \( \theta \): Nous utilisons généralement la fonction \( \arctan \) (ou \( \tan^{-1} \)) pour trouver l'argument. Dans ce cas, \[ \theta = \arctan\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \]
Rappelez-vous que \( \arctan(\sqrt{3}) \) donne \( \frac{\pi}{3} \) car \( \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \).
Le cercle trigonométrique est un outil précieux pour trouver l'argument d'un nombre complexe.
Donc, en forme trigonométrique, le nombre complexe \( z = 1 + \mathbf{i}\sqrt{3} \) s'écrit : \[ z = 2 \cdot \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) \]
- Un nombre complexe non nul \(z\) a une infinité d'arguments: si \(\theta\) est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la forme \(\theta+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
- On note \(\mbox{arg}(z)=\theta\) (modulo \(2\pi\)), ou \(\mbox{arg}(z)=\theta \pmod {2\pi}\), ou encore, pour simplifier (abus de langage), \(\mbox{arg}(z)=\theta\).
Deux nombres complexes conjugués ont le même module et des arguments opposés. \[\bbox[lightblue,5px] { \arg(\ \overline{z}\ ) = -\arg(z) \pmod {2\pi} }\] Leurs points-images associés sont symétriques par rapport à l'axe réel.
De même : $$\begin{aligned} \arg (-\overline{z}) & =\pi-\arg (z) \pmod {2\pi} \\ \arg (-z) & =\pi+\arg (z) \pmod {2\pi} \end{aligned}$$
- \(0\in\mathbb{C}\) n'a pas d'argument et est de module nul.
- Les nombres réels positifs ont un argument nul et sont égaux à leur module. \[x\in\mathbb{R}^+ \implies x=x\cdot \text{cis}\left(0\right)=x\cdot \text{cis}\left(2\pi\right)\]
- Les nombres réels négatifs ont un argument égal à \(\pi\) et leur module est égal à leur valeur absolue. \[x\in\mathbb{R}^- \implies x=|x|\cdot \text{cis}\left(\pi\right)\]
Traduction des propriétés
Égalité : \( r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \iff r_1 = r_2 \) et \( \theta_1 = \theta_2 + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)
Nullité : \( r \cdot \text{cis}\left(\theta\right) = 0 \iff r = 0 \)
complexe de module 1 : \( \text{cis}\left(\theta\right) \) représente un complexe de module 1
Conjugué : soit \( z= r \cdot \text{cis}\left(\theta\right) \)
\( \overline{z} \) a pour représentant le symétrique de celui de \( z \) par rapport à l'axe polaire, donc a même module \( r \) et un argument opposé.
\( \overline{z} = r \cdot \text{cis}\left(-\theta\right) \)
Opposé : soit \( z= r \cdot \text{cis}\left(\theta\right) \)
\( -z \) a pour représentant le symétrique de celui de \( z \) par rapport à \( 0 \), donc a même module \( r \) et un argument augmenté de \( \pi \).
dès lors, \( -z = r \cdot \text{cis}\left(\theta + \pi\right) \)
Addition : \( r_1 \cdot \text{cis}\left(\theta_1\right) + r_2 \cdot \text{cis}\left(\theta_2\right) \) ne se réalise pas facilement dans ce point de vue
Produit : \( r_1 \cdot \text{cis}\left(\theta_1\right) \cdot r_2 \cdot \text{cis}\left(\theta_2\right) = r_1 \cdot r_2 \cdot \text{cis}\left(\theta_1+\theta_2\right)\) voir le détail
→ Voir Méthodes et savoir-faire pour maîtriser les notions de modules et d'arguments des nombres complexes à travers des exercices auto-corrigés.
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