\( \def\R{{\mathbb R}} \def\bold#1{{\bf #1}} \newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\rlf}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \renewcommand{\Re}[1]{\textrm{Re}\Par{#1}} \renewcommand{\Im}[1]{\textrm{Im}\Par{#1}} \newcommand{\ii}{{\mathbf{i}}} \)
Exercices sur la forme trigonométrique des nombres complexes
Exercice 1 : Indiquer l'affixe (définition ici) des points A à F sous forme trigonométrique puis algébrique
Exercice 2 : Écrire $z$ sous sa forme trigonométrique. On impose le radian comme unité de mesure d'angle.
- $z=1$
- $z=-5$
- $z=\mathbb{i}$
- $z=-2\mathbf{i}$
- $z=1-\mathbf{i}$
- $z=\mathbf{i}\sqrt{3}+1$
- $z=\mathbf{i}\sqrt{3}-1$
- $z=\sqrt{2}\left(1+\mathbf{i}\right)$
- $z=\mathbf{i}^3$
- $z=1+\mathbf{i}\cdot\tan(\beta)$ avec $\beta\in\left]{-\dfrac{\pi}{2}};{\dfrac{\pi}{2}}\right[$
Voir les propriétés pour les exos suivants.
Exercice 3 : Effectuer les opérations suivantes et donner les réponses sous forme trigonométrique et sous forme algébrique.
- $\left(2\,\text{cis} \left ( \dfrac{\pi}{4}\right ) \right)\cdot \left(\dfrac13\;\text{cis} \left ( \dfrac{\pi}{3}\right ) \right)$
- $\left(10\;\text{cis} \left ( 100^\circ\right ) \right)\cdot \left(\text{cis} \left ( 140^\circ\right ) \right)$
- $\dfrac{6\;\text{cis} \left ( 170^\circ\right ) }{3\;\text{cis} \left ( 50^\circ\right ) }$
- $\dfrac{1}{2\;\text{cis} \left ( \dfrac{\pi}{6}\right ) }$
- $\dfrac{1+\mathbf{i}}{1-\mathbf{i}}$
- $\mathbf{i}\; \text{cis} \left ( \dfrac{\pi}{6}\right ) $
- $\dfrac{4 \;\text{cis} \left ( \dfrac{3 \pi}{4}\right ) }{2 \;\text{cis} \left ( \pi\right ) }$
- $\left(2 \;\text{cis} \left ( \dfrac{\pi}{3}\right ) \right)^2 \cdot\left(3 \;\text{cis} \left ( \dfrac{\pi}{4}\right ) \right)^3$
Exercice 4 : Déterminer la forme trigonométrique de
- \(\left(1+\mathbf{i}\right)\cdot \left(\sqrt{3}-3\mathbf{i}\right)\)
- \(\left(1+\mathbf{i}\right) / \left(\sqrt{3}-3\mathbf{i}\right)\)
Exercice 5 : Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : \[\mathbf 1. \ z_1=(2+2\mathbf{i})^6\qquad \mathbf 2. \ z_2=\left(\frac{1+\mathbf{i}\sqrt 3}{1-\mathbf{i}}\right)^{20}\qquad\mathbf 3. \ z_3=\frac{(1+\mathbf{i})^{2000}}{(\mathbf{i}-\sqrt 3)^{1000}}.\]
Exercice 6 : Soit \(z_1=1+\mathbf{i}\sqrt{3}\) et \(z_2=1-\mathbf{i}\)
- Ecrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique
- Soit \(z_3=\dfrac{z_1}{z_2}\). Ecrire \(z_3\) sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique
- En déduire les valeurs exactes de \(\cos \left(\frac{7\pi}{12}\right)\) et \(\sin \left(\frac{7\pi}{12}\right)\)
Exercice 7 : Soit le nombre complexe $w=\dfrac{z_{1}}{\left(z_{2}\right)^{3}}$ avec $z_{1}=\sqrt{3}+i$ et $z_{2}=2 \sqrt{2} \operatorname{cis}\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
1) Écrire $z_{1}$ et $w$ sous forme trigonométrique.
2) Écrire $\left(z_{2}\right)^{3}$ et $w$ sous forme algébrique.
3) Déduire de a) et de b) les valeurs exactes de $\cos \frac{11 \pi}{12}$ et $\sin \frac{11 \pi}{12}$.
4) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}-z_{2}=0$. Donner les solutions sous forme trigonométrique.
5) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\left(z_{2}\right)^{3}-i \cdot \overline{z}=i^{2022}$. Donner la solution sous forme algébrique.
Exercice 8 : Calculer la forme trigonométrique de chacune des racines 4ème du nombre complexe $-16+16\mathbf{i}$.
Exercice 9 : Rechercher les racines 4ème de $-4$ (ce qui correspond à solutionner dans $\mathbb C$ l'équation $w^4=-4$) sous forme trigonométrique et algébrique.
Exercice 10 : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3+8\mathbf{i}=0$ puis représenter précisément les solutions dans le plan de Gauss ci-dessous.
Exercice 11 : Donner, sous forme polaire (i.e. trigonométrique), les solutions dans $\mathbb{C}$ de : $$ z^6+(7-{\mathbf{i}})z^3 -8 -8{\mathbf{i}} = 0.$$
(Indication : poser $Z=z^3$)
Exercice 12 : Résoudre sous forme trigonométrique dans $\mathbb{C}$
a) $z^5-1=0$
b) $z^6-2z^3\cos\Par{\phi}+1=0$