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Exercices sur la forme trigonométrique des nombres complexes

Exercice 1 : Indiquer l'affixe (définition ici) des points A à F sous forme trigonométrique puis algébrique


Solution

Solution

  1. zA=4⋅cis(−π2)=−4i
  2. zB=8⋅cis(2π3)=−4+4i√3
  3. zC=4⋅cis(π4)=2√2+2i√2
  4. zD=9⋅cis(5π6)=−9√32+92i
  5. zE=6⋅cis(−π6)=3√32−3i
  6. zF=12⋅cis(π)=−12(−12+0⋅i)

Exercice 2 : Écrire z sous sa forme trigonométrique. On impose le radian comme unité de mesure d'angle.

  1. z=1
  2. z=−5
  3. z=i
  4. z=−2i
  5. z=1−i
  6. z=i√3+1
  7. z=i√3−1
  8. z=√2(1+i)
  9. z=i3
  10. z=1+i⋅tan(β) avec β∈]−π2;π2[


Solution

Solution

  1. z=cis(0)
  2. z=5⋅cis(π)
  3. z=cis(π2)
  4. z=2⋅cis(3π2) ou z=2⋅cis(−π2)
  5. z=1−i=√2⋅cis(7π4)
  6. z=i√3+1=2(12+√32i)=2⋅cis(π3)
  7. z=i√3−1=…
  8. z=√2(1+i)=…
  9. z=i3=…
  10. z=1+i⋅tan(β)=…

Voir les propriétés pour les exos suivants.

Exercice 3 : Effectuer les opérations suivantes et donner les réponses sous forme trigonométrique et sous forme algébrique.

  1. (2cis(π4))⋅(13cis(π3))
  2. (10cis(100∘))⋅(cis(140∘))
  3. 6cis(170∘)3cis(50∘)
  4. 12cis(π6)
  5. 1+i1−i
  6. icis(π6)
  7. 4cis(3π4)2cis(π)
  8. (2cis(π3))2⋅(3cis(π4))3


Solution

Solution

  1. FT : (2cis(π4))⋅(13cis(π3))=23cis(7π12)
    FA : (2cis(π4))⋅(13cis(π3))=√2(1+i)13(12+√32i)=√23((1−√3)+(1+√3)i)
    Note : on peut en déduire les valeurs exactes de cos(7π12) et sin(7π12)
  2. FT : (10cis(100∘))⋅(cis(140∘))=10cis(240∘)
    FA : 10cis(240∘)=10(cos(240∘)+isin(240∘))=−5−5i√3
  3. FT : 6cis(170∘)3cis(50∘)=2cis(120∘)
    FA : 6cis(170∘)3cis(50∘)=2(cos(120∘)+isin(120∘))=−1+i√3
  4. FT : 12cis(π6)=cis(−π6)2cis(π6)cis(−π6)=cis(−π6)2cis(0)=12cis(−π6)
    FA : 12cis(π6)=12(cos(−π6)+isin(−π6))=√34−14i
  5. FT : 1+i1−i=√2⋅cis(π4)√2⋅cis(−π4)=cis(π4−(−π4))=cis(π2)
    FA : 1+i1−i=cis(π2)=i
  6. FT : icis(π6)=cis(π2)cis(π6)=cisπ2+π6=cis2π3
    FA : icis(π6)=cis(2π3)=cos2π3+isin2π3=−12+i√32
  7. FT & FA : 4cis(3π4)2cis(π)=2cis(3π4−π)=2cis(−π4)=√2−i√2
  8. FT :

    (2cis(π3))2⋅(3cis(π4))3=(2cis(π3))(2cis(π3))(3cis(π4))(3cis(π4))(3cis(π4))=4cis(π3+π3)×27cis(π4+π4+π4)=4cis(2π3)×27cis(3π4)=108cis(2π3+3π4)=108cis(17π12)

    FA :

    4cis(2π3)×27cis(3π4)=108(−12+i√32)(−√22+i√22)=27(−1+i√3)(−√2+i√2)=27((√2−√6)−(+√2+√6)i)

Exercice 4 : Déterminer la forme trigonométrique de

  1. (1+i)⋅(√3−3i)
  2. (1+i)/(√3−3i)


Solution

Solution

  1. (1+i)⋅(√3−3i)=√2cis(π4)2√3cis(−π3)=2√6cis(−π12)
  2. (1+i)/(√3−3i)=√2cis(π4)2√3cis(−π3)=√66cis(7π12)

Exercice 5 : Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : 1. z1=(2+2i)62. z2=(1+i√31−i)203. z3=(1+i)2000(i−√3)1000.


Solution

Solution

Pour z1=(2+2i)6, on utilise la forme trigonométrique. On a 2+2i=2√2cis(π/4), donc z1=(2√2cis(π4))6=26⋅23⋅cis(6⋅π4)=29⋅cis(3π2)=29⋅(−i)=−512⋅i.

Pour z2=(1+i√31−i)20, on calcule d'abord la forme trigonométrique du numérateur et du dénominateur. On a : 1+i√31−i=2(12+i√32)√2(√22−i√22)=√2⋅cis(π/3)cis(−π/4)=√2⋅cis(7π12). Donc, z2=(√2cis(7π12))20=210cis(140π12)=210cis(35π3)=210cis(5π3)=210(1−i√3)=512−512⋅i⋅√3.

Pour z3=(1+i)2000(i−√3)1000, on utilise également la forme trigonométrique. On a : (1+i)2000=21000cis(2000⋅π/4)=21000cis(500⋅π)=21000, car cis(500π) revient à une rotation complète de multiples de 2π, ce qui est équivalent à 1. De même, (i−√3)1000=21000cis(1000⋅5π6)=21000cis(5000⋅π6). Donc, z3=2100021000cis(5000⋅π6)=cis(−5000⋅π6)=cis(2π3)=−12+√32i

Exercice 6 : Soit z1=1+i√3 et z2=1−i

  • Ecrire z1 et z2 sous forme trigonométrique

Solution

Solution

z1=2cis(π3) et z2=√2cis(−π4)

  • Soit z3=z1z2. Ecrire z3 sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique

Solution

Solution

FA : z3=1+i√31−i=(1+i√3)(1+i)2=1−√32+1+√32i

FT : z3=2cis(π3)√2cis(−π4)=√2cis(π3+π4)=√2cis(7π12)

  • En déduire les valeurs exactes de cos(7π12) et sin(7π12)

Solution

Solution

On déduit du point précédent : √2cis(7π12)=1−√32+1+√32i

D'où cis(7π12)=1√2(1−√32+1+√32i)

Cette égalité se réécrit : cos(7π12)+isin(7π12)=1−√32√2+1+√32√2i

Conclusion : cos(7π12)=1−√32√2=√2−√64 et sin(7π12)=1+√32√2=√2+√64

Exercice 7 : Soit le nombre complexe w=z1(z2)3 avec z1=√3+i et z2=2√2cis(−π4).

1) Écrire z1 et w sous forme trigonométrique.

2) Écrire (z2)3 et w sous forme algébrique.

3) Déduire de a) et de b) les valeurs exactes de cos11π12 et sin11π12.

4) Résoudre dans C l'équation z3−z2=0. Donner les solutions sous forme trigonométrique.

5) Résoudre dans C l'équation (z2)3−i⋅¯z=i2022. Donner la solution sous forme algébrique.


Solution

Solution

1) z1=2cis(π6) et w=√216cis(11π12)

2) (z2)3=−16−16i et w=−√3+132+√3−132i

3) √216cis(11π12)=−√3+132+√3−132i

cis(11π12)=−√6+√24+√6−√232i

⟹cos11π12=−√6+√24 et sin11π12=√6−√232.

4) z3−z2=0⟺z3=2√2cis(−π4)

on recherche donc les racines cubiques de 2√2cis(−π4) :

wk=3√2√2cis((8k−1)π12)=√2cis((8k−1)π12)

  1. w0=√2cis(−π12)
  2. w1=√2cis(7π12)
  3. w2=√2cis(15π12)

SC={w0,w1,w2}

5) z32−i⋅¯z=i2022⟺−16−16i−i⋅¯z=−1

⟺−i⋅¯z=15+16i

⟺¯z=−16+15i

SC={−16−15i}

Exercice 8 : Calculer la forme trigonométrique de chacune des racines 4ème du nombre complexe −16+16i.


Solution

Solution

−16+16i=24(−1+i)=24√2⋅cis(3π4) les racines 4ème sont données par : w0=28√2⋅cis(3π16+0⋅π2)w1=28√2⋅cis(3π16+1⋅π2)w2=28√2⋅cis(3π16+2⋅π2)w3=28√2⋅cis(3π16+3⋅π2) puis simplifiées : w0=28√2⋅cis(3π16);w1=28√2⋅cis(11π16);w2=28√2⋅cis(19π16);w3=28√2⋅cis(27π16);

Exercice 9 : Rechercher les racines 4ème de −4 (ce qui correspond à solutionner dans C l'équation w4=−4) sous forme trigonométrique et algébrique.


Solution

Solution

Soit z=−4=4⋅cis(π). On a wk=4√4⋅cis(π+2kπ4) avec k=0,1,2,3 {w0=√2⋅cis(π4)=1+iw1=√2⋅cis(3π4)=−1+iw2=√2⋅cis(5π4)=−1−iw3=√2⋅cis(7π4)=1−i

source tikz

source tikz 

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
% Axes
\draw[->,>=latex, gray] (-7.2,0)--(4.2,0);
\draw[->,>=latex, gray] (0,-3)--(0,3);
% Cercle et segments
\draw[thick, gray] (0,0) circle(2.5);
\foreach \angle in {45,135,225,315} {
\draw[thick,gray] (0,0)--(\angle:2.5);
}
% Points et étiquettes
\foreach \pos/\label in {(-7,0)/z=-4, (2.5,0)/\sqrt{2}, (1.77,0)/1, (0,2.5)/i\sqrt{2}, (0,1.77)/i} {
\fill \pos circle (2pt) node[above right] {$\label$};
}
\foreach \angle/\name/\position in {45/w_0/above, 135/w_1/above, 225/w_2/below, 315/w_3/below} {
\fill (\angle:2.5) circle (2pt) node[\position] {$\name$};
}
% Polygone
\draw[black, very thick] (45:2.5)--(135:2.5)--(225:2.5)--(315:2.5)--cycle;
% Origine
\fill (0,0) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Exercice 10 : Résoudre dans C l'équation z3+8i=0 puis représenter précisément les solutions dans le plan de Gauss ci-dessous.

source tikz

source tikz 

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usetikzlibrary{
decorations,
decorations.markings,
hobby,arrows
}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% Styles des axes et de la grille
\tikzstyle{axe}=[->,>=stealth',thick]
\tikzstyle{grille}= [step=1,very thin]
\tikzstyle{angle}= [midway,sloped,fill=white]
% Axes
\def\kl{4.1}
\draw[axe] (-\kl,0)--(\kl,0) node [right] {\scriptsize $\mathbb{R}$};
\draw[axe] (0,-\kl)--(0,\kl) node [above] {\scriptsize $\mathbf{i}\mathbb{R}$};
% Clip pour que les figures ne sortent pas du cadre
\clip (-\kl,-\kl) rectangle (\kl,\kl); 
\foreach \r in {1,2,3,4} {\draw[dashed,gray,very thin] (0,0) circle (\r);}
\foreach \a in {-45,45,135,-135} {\draw[gray,very thin,dashed] (\a:0.5) -- (\a:\kl);}
% Annotations axes et unites
%\foreach \a in {-150,-135,-120,-60,-45,-30,30,45,60,135,150}
\foreach \a in {30,60,120,150,210,240,300,330}
{\draw[gray,thick](0,0)--(\a:5) node [angle]{\color{black} \tiny \a$^\circ$};}
\fill[] (0:2cm) circle (2pt) node[below]{ $1$};
\fill[] (90:2cm) circle (2pt) node[left]{ $\mathbf{i}$};
%\fill[red] (270:4cm) circle (2pt) node[above right]{\small{$z_2$}};
%\fill[red] (-120:2cm) circle (2pt) node[right]{\small{$z_4$}};
\end{tikzpicture}
\end{document}


Solution

Solution

z3=8cis(3π2)

SC={2cis(π2);2cis(7π6);2cis(11π6);}

source tikz

source tikz 

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usetikzlibrary{
decorations,
decorations.markings,
hobby,arrows
}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% Styles des axes et de la grille
\tikzstyle{axe} = [->,>=stealth',thick]
\tikzstyle{grille} = [step=1,very thin]
\tikzstyle{angle} = [midway,sloped,fill=white]
% Axes
\def\kl{5}
\draw[axe] (-\kl,0)--(\kl,0) node [right] {\scriptsize $\mathbb{R}$};
\draw[axe] (0,-\kl)--(0,\kl) node [above] {\scriptsize $\mathbf{i}\mathbb{R}$};
% Clip pour que les figures ne sortent pas du cadre
\clip (-\kl,-\kl) rectangle (\kl,\kl); 
\foreach \r in {1,2,3,4} {\draw[dashed,gray,very thin] (0,0) circle (\r);}
\foreach \a in {-45,45,135,-135} {\draw[gray,very thin,dashed] (\a:0.5) -- (\a:\kl);}
\foreach \a in {30,60,120,150,210,240,300,330}
{\draw[gray,thick](0,0)--(\a:5) node [angle]{\color{black} \tiny \a$^\circ$};}
\fill[] (0:2cm) circle (2pt) node[below]{ $1$};
\fill[] (90:2cm) circle (2pt) node[left]{ $\mathbf{i}$};
\fill[red] (90:4cm) circle (3pt) node[above right]{\small{$2\mathbf{i}$}};
\fill[red] (210:4cm) circle (3pt) node[above left]{\small{$2\operatorname{cis}\left(\frac{7\pi}{6}\right)$}};
\fill[red] (330:4cm) circle (3pt) node[above right]{\small{$2\operatorname{cis}\left(\frac{11\pi}{6}\right)$}};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Exercice 11 : Donner, sous forme polaire (i.e. trigonométrique), les solutions dans C de : z6+(7−i)z3−8−8i=0.

(Indication : poser Z=z3)


Solution

Solution

Z2+(7−i)Z−8−8i=0⟺Z=1+i=√2cis(π4) ou Z=−8=8cis(π)

d'où z3=√2cis(π4) ou z3=8cis(π)

SC={6√2cis(−7π12);6√2cis(3π4);6√2cis(π12);−2;2cis(π3);2cis(−π3)}

Exercice 12 : Résoudre sous forme trigonométrique dans C

a) z5−1=0


b) z6−2z3cos(ϕ)+1=0


Solution

Solution

a) il suffit d'appliquer la racine cinquième de l'unité


b) z3=T ; T2−2cos(ϕ)T+1=0 ; ρ=4(cos2(ϕ)−1)=4i2sin2ϕ

T1/2=cosϕ±isinϕ=cis(±ϕ)

zk=cis(ϕ3+k2π3) et z′k=cis(−ϕ3+k2π3) pour k∈{1,2,3} S={zk,z′k∣k∈{1,2,3}}

Quizz - version pdf

Un fichier pdf avec des questions de type QCM, et son corrigé.

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  • Dernière modification : 2024/09/30 16:53
  • de Frédéric Lancereau