On considère les points A, B, C, D, E, F, G et H et on zA,zB,zC,zD,zE,zF,zG,zH leurs affixes respectives.
Écrire, en utilisant le graphique,zA,zB,zC,zD,zE,zF,zG,zH sous forme trigonométrique et algébrique.
zA=√2 cis(−π4)=1−i
zB=cis(π6)=√32+12i
zC=2 cis(2π3)=−1+√3i
zD=cis(0)=1
zE=cis(π2)=i
zF=cis(7π6)=−√32−12i
zG=2 cis(−π4)=√22−√22i
zH=2 cis(π)=−2
1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants
2) Écrire ces nombres complexes sous forme trigonométrique
z1=3z2=−4z3=iz4=−3iz5=2+2iz6=2−2iz7=−√3+3i
1) et 2)
z1=3 cis(0)z2=4 cis(π)z3=cis(π2)z4=3 cis(3π2)z5=2√2 cis(π4)z6=2√2 cis(7π4)z7=2√3 cis(2π3)
Soit z un nombre complexe non nul.
1) Exprimer arg(¯z) en fonction de arg(z). (voir Deux nombres complexes conjugués ont le même module et des arguments opposés.)
Si z=r(cosϕ+isinϕ) alors ¯z=r(cosϕ−isinϕ)=r[cosϕ+i(−sinϕ)]
Or, cos(−ϕ)=cosϕ et sin(−ϕ)=−sinϕ
Donc ¯z=r[cos(−ϕ)+isin(−ϕ)] et arg¯z=−ϕ ou encore arg(¯z)=−arg(z)
2) Exprimer arg(−z) en fonction de arg(z).
Soit z=r⋅cis(ϕ)
Sachant que cis(θ1)⋅cis(θ2)=cis(θ1+θ2) et cis(π)=cos(π)+isin(π)=−1, on a :
−z=−1⋅r⋅cis(ϕ)=cis(π)⋅r⋅cis(ϕ)=r⋅cis(π)⋅cis(ϕ)=r⋅cis(π+ϕ)
Par conséquent : arg(−z)=π+ϕ=π+arg(z)
3) Exprimer arg(−¯z) en fonction de arg(z).
arg(−¯z)=π+arg(¯z)(car multiplier par −1 revient à ajouter π à l'argument)=π−arg(z)(car prendre le conjugué revient à changer le signe de l'argument)
1) Déterminer un argument de z1=1+i et z2=−3+i√3
arg(z1)=π4 et arg(z2)=5π6
note : z2 se trouve dans le deuxième quadrant → arg(z2)=π+arctan(√3−3)
2) En déduire un argument des nombres suivants :
a) z1⋅z2
arg(z1⋅z2)=arg(z1)+arg(z2)=π4+5π6=13π12
b) −3−i√3
arg(−3−i√3)=arg(¯z2)=−arg(z2)=−5π6
c) −12(1+i)
arg(−12(1+i))=arg((−12+0⋅i)(1+i))=arg(−12+0⋅i)+arg(1+i)=π+arg(z1)=5π4
d) 1−i
arg(1−i)=arg(¯z1)=−arg(z1)=−π4
e) (3−i√3)2(1−i)3
arg(3−i√3)=arg(−z2)=π+arg(z2)=π+5π6=11π6
d'où
arg((3−i√3)2)=arg((3−i√3)⋅(3−i√3))=arg(3−i√3)+arg(3−i√3)=11π6+11π6=11π3
de même,
arg((1−i)3)=arg((1−i)⋅(1−i)⋅(1−i))=−π4−π4−π4=−3π4
finalement,
arg((3−i√3)2(1−i)3)=arg((3−i√3)2)−arg((1−i)3)=11π3−(−3π4)=53π12
cet argument peut être simplifié par 5π12 car 53π12=5π12+4π
Note : arg((3−i√3)2(1−i)3)=2arg(3−i√3)−3arg(1−i) (→ voir Formule de Moivre)
Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :
Écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle.
z1=2(cosπ4+isinπ4)=2 cis(π4)⟹ immédiat :|z1|=2 et arg(z1)=π4z2=−2(cosπ4+isinπ4)=2(−cosπ4−isinπ4)est dans le 3ème quadrant=2(cos5π4+isin5π4)=2 cis(5π4)⟹|z2|=2 et arg(z2)=5π4z3=2(−cosπ4+isinπ4)est dans le 2ème quadrant=2(cos3π4+isin3π4)=2 cis(3π4)⟹|z3|=2 et arg(z3)=3π4z4=2(cosπ4−isinπ4)est dans le 4ème quadrant=2 cis(7π4)⟹|z4|=2 et arg(z4)=7π4