algebre:nombres-complexes:forme-trigonometrique:methodes

Méthodes et savoir-faire

On considère les points A, B, C, D, E, F, G et H et on zA,zB,zC,zD,zE,zF,zG,zH leurs affixes respectives.

Écrire, en utilisant le graphique,zA,zB,zC,zD,zE,zF,zG,zH sous forme trigonométrique et algébrique.

Solution

Solution

  1. zA=2 cis(π4)=1i
  2. zB=cis(π6)=32+12i
  3. zC=2 cis(2π3)=1+3i
  4. zD=cis(0)=1
  5. zE=cis(π2)=i
  6. zF=cis(7π6)=3212i
  7. zG=2 cis(π4)=2222i
  8. zH=2 cis(π)=2

1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants

2) Écrire ces nombres complexes sous forme trigonométrique

z1=3z2=4z3=iz4=3iz5=2+2iz6=22iz7=3+3i

Solution

Solution

1) et 2) z1=3 cis(0)z2=4 cis(π)z3=cis(π2)z4=3 cis(3π2)z5=22 cis(π4)z6=22 cis(7π4)z7=23 cis(2π3)


Soit z un nombre complexe non nul.

1) Exprimer arg(¯z) en fonction de arg(z). (voir Deux nombres complexes conjugués ont le même module et des arguments opposés.)

Solution

Solution

Si z=r(cosϕ+isinϕ) alors ¯z=r(cosϕisinϕ)=r[cosϕ+i(sinϕ)]

Or, cos(ϕ)=cosϕ et sin(ϕ)=sinϕ

Donc ¯z=r[cos(ϕ)+isin(ϕ)] et arg¯z=ϕ ou encore arg(¯z)=arg(z)


2) Exprimer arg(z) en fonction de arg(z).

Solution

Solution

Soit z=rcis(ϕ)
Sachant que cis(θ1)cis(θ2)=cis(θ1+θ2) et cis(π)=cos(π)+isin(π)=1, on a : z=1rcis(ϕ)=cis(π)rcis(ϕ)=rcis(π)cis(ϕ)=rcis(π+ϕ) Par conséquent : arg(z)=π+ϕ=π+arg(z)


3) Exprimer arg(¯z) en fonction de arg(z).

Solution

Solution

arg(¯z)=π+arg(¯z)(car multiplier par 1 revient à ajouter π à l'argument)=πarg(z)(car prendre le conjugué revient à changer le signe de l'argument)


1) Déterminer un argument de z1=1+i et z2=3+i3

Solution

Solution

arg(z1)=π4 et arg(z2)=5π6

note : z2 se trouve dans le deuxième quadrant → arg(z2)=π+arctan(33)


2) En déduire un argument des nombres suivants :

a) z1z2

Solution

Solution

arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)=π4+5π6=13π12


b) 3i3

Solution

Solution

arg(3i3)=arg(¯z2)=arg(z2)=5π6


c) 12(1+i)

Solution

Solution

arg(12(1+i))=arg((12+0i)(1+i))=arg(12+0i)+arg(1+i)=π+arg(z1)=5π4


d) 1i

Solution

Solution

arg(1i)=arg(¯z1)=arg(z1)=π4


e) (3i3)2(1i)3

Solution

Solution

arg(3i3)=arg(z2)=π+arg(z2)=π+5π6=11π6

d'où arg((3i3)2)=arg((3i3)(3i3))=arg(3i3)+arg(3i3)=11π6+11π6=11π3 de même, arg((1i)3)=arg((1i)(1i)(1i))=π4π4π4=3π4 finalement, arg((3i3)2(1i)3)=arg((3i3)2)arg((1i)3)=11π3(3π4)=53π12 cet argument peut être simplifié par 5π12 car 53π12=5π12+4π

Note : arg((3i3)2(1i)3)=2arg(3i3)3arg(1i) (→ voir Formule de Moivre)


Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :

  • z1=2(cosπ4+isinπ4)
  • z2=2(cosπ4+isinπ4)
  • z3=2(cosπ4+isinπ4)
  • z4=2(cosπ4isinπ4)

Écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle.

Solution

Solution

z1=2(cosπ4+isinπ4)=2 cis(π4) immédiat :|z1|=2  et  arg(z1)=π4z2=2(cosπ4+isinπ4)=2(cosπ4isinπ4)est dans le 3ème quadrant=2(cos5π4+isin5π4)=2 cis(5π4)|z2|=2  et  arg(z2)=5π4z3=2(cosπ4+isinπ4)est dans le 2ème quadrant=2(cos3π4+isin3π4)=2 cis(3π4)|z3|=2  et  arg(z3)=3π4z4=2(cosπ4isinπ4)est dans le 4ème quadrant=2 cis(7π4)|z4|=2  et  arg(z4)=7π4


  • algebre/nombres-complexes/forme-trigonometrique/methodes.txt
  • Dernière modification : 2024/08/21 22:04
  • de 127.0.0.1