On considère les points A, B, C, D, E, F, G et H et on \(z_A , z_B , z_C , z_D , z_E , z_F , z_G , z_H\) leurs affixes respectives.
Écrire, en utilisant le graphique,\(z_A , z_B , z_C , z_D , z_E , z_F , z_G , z_H\) sous forme trigonométrique et algébrique.
\(z_A = \sqrt{2} \ \text{cis} \left( -\frac{\pi}{4}\right) = 1-\mathbf{i}\)
\(z_B = \text{cis} \left( \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathbf{i}\)
\(z_C = 2 \ \text{cis} \left( \frac{2\pi}{3}\right) = -1+\sqrt{3}\mathbf{i}\)
\(z_D = \text{cis} \left( 0\right) = 1\)
\(z_E = \text{cis} \left( \frac{\pi}{2}\right) = \mathbf{i}\)
\(z_F = \text{cis} \left( \frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathbf{i}\)
\(z_G = 2 \ \text{cis} \left( -\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}\)
\(z_H = 2 \ \text{cis} \left( \pi\right) = -2\)
1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants
2) Écrire ces nombres complexes sous forme trigonométrique
\begin{equation}
\begin{array}{l|l|l|l}
z_1=3 & z_2=-4 & z_3=i & z_4=-3 i \\
z_5=2+2 i & z_6=2-2 i & z_7=-\sqrt{3}+3 i &
\end{array}
\end{equation}
1) et 2)
\begin{equation}
\begin{array}{l|l|l|l}
z_1 = 3 \ \text{cis} \left( 0\right) & z_2 = 4 \ \text{cis} \left( \pi\right) & z_3= \text{cis} \left( \frac{\pi}{2}\right) & z_4 = 3 \ \text{cis} \left( \frac{3\pi}{2}\right) \\
z_5 = 2\sqrt{2} \ \text{cis} \left( \frac{\pi}{4}\right) & z_6=2\sqrt{2} \ \text{cis} \left( \frac{7\pi}{4}\right) & z_7=2\sqrt{3} \ \text{cis} \left( \frac{2\pi}{3}\right) &
\end{array}
\end{equation}
Soit z un nombre complexe non nul.
1) Exprimer \(\arg(\overline{z})\) en fonction de \(\arg(z)\). (voir Deux nombres complexes conjugués ont le même module et des arguments opposés.)
Si \(z = r(\cos \phi + i \sin \phi)\) alors \(\overline{z} = r(\cos \phi - i \sin \phi) = r[\cos \phi + i(-\sin \phi)]\)
Or, \(\cos(-\phi) = \cos \phi\) et \(\sin(-\phi) = -\sin \phi\)
Donc \(\overline{z} = r[\cos(-\phi) + i \sin(-\phi)]\) et \(\arg \overline{z} = -\phi\) ou encore \(\bbox[lightblue,5px] {\arg(\overline{z}) = -\arg(z)}\)
2) Exprimer \(\arg(−z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
Soit \(z=r \cdot \operatorname{cis}(\phi)\)
Sachant que \( \text{cis}(\theta_1) \cdot \text{cis}(\theta_2) = \text{cis}(\theta_1+\theta_2) \) et \(\operatorname{cis}(\pi) = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1 \), on a :
\[\begin{aligned}
-z &= -1 \cdot r \cdot \operatorname{cis}(\phi) \\
&= \operatorname{cis}(\pi) \cdot r \cdot \operatorname{cis}(\phi) \\
&= r \cdot \operatorname{cis}(\pi) \cdot \operatorname{cis}(\phi) \\
&= r \cdot \operatorname{cis}(\pi+\phi) \\
\end{aligned}\]
Par conséquent : \(\bbox[lightblue,5px] {\arg(−z) =} \pi+\phi =\bbox[lightblue,5px] { \pi+\arg(z)}\)
3) Exprimer \(\arg(−\overline{z})\) en fonction de \(\arg(z)\).
\[ \begin{aligned}
\bbox[lightblue,5px] {\arg(-\overline{z})} &= \pi + \arg(\overline{z}) \quad \text{(car multiplier par } -1 \text{ revient à ajouter } \pi \text{ à l'argument)}\\
&= \bbox[lightblue,5px] {\pi - \arg(z)} \quad \text{(car prendre le conjugué revient à changer le signe de l'argument)}
\end{aligned} \]
1) Déterminer un argument de \(z_1 = 1 + i\) et \(z_2 = −3 + i\sqrt{3}\)
\(\arg(z_1)=\frac{\pi}{4}\) et \(\arg(z_2)=\frac{5\pi}{6}\)
note : \(z_2\) se trouve dans le deuxième quadrant → \(\arg(z_2)=\pi + \arctan\left( \frac{\sqrt{3}}{-3} \right)\)
2) En déduire un argument des nombres suivants :
a) \(z_1\cdot z_2\)
\(\arg(z_1\cdot z_2) = \arg(z_1)+\arg(z_2) = \frac{\pi}{4}+\frac{5\pi}{6} = \frac{13\pi}{12}\)
b) \(−3 - i\sqrt{3}\)
\(\arg(−3 - i\sqrt{3}) = \arg(\overline{z_2}) = -\arg(z_2) = -\frac{5\pi}{6}\)
c) \(-\frac12 (1 + i)\)
\(\arg\left(-\frac12 (1 + i)\right) =\arg\left(\left(-\frac12 + 0 \cdot i\right) (1 + i)\right) = \arg\left(-\frac12 + 0 \cdot i\right) +\arg (1 + i) = \pi + \arg (z_1) = \frac{5\pi}{4}\)
d) \(1 - i\)
\(\arg(1 - i) = \arg(\overline{z_1}) = -\arg(z_1) = -\frac{\pi}{4}\)
e) \(\dfrac{\left(3 - i\sqrt{3}\right)^2}{\left(1-i\right)^3}\)
\(\arg{\left(3 - i\sqrt{3}\right)} = \arg (-z_2) = \pi + \arg (z_2) = \pi + \frac{5\pi}{6} =\frac{11\pi}{6} \)
d'où
\[\begin{aligned} \arg\left(\left(3 - i\sqrt{3}\right)^2\right)
&= \arg\left(\left(3 - i\sqrt{3}\right)\cdot\left(3 - i\sqrt{3}\right)\right) \\
&= \arg{\left(3 - i\sqrt{3}\right)}+\arg{\left(3 - i\sqrt{3}\right)}\\
&= \frac{11\pi}{6}+\frac{11\pi}{6} = \frac{11\pi}{3}
\end{aligned}\]
de même,
\[\begin{aligned} \arg\left(\left(1 - i\right)^3\right)
&= \arg\left(\left(1 - i\right)\cdot\left(1 - i\right)\cdot\left(1 - i\right)\right) \\
&= -\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}
\end{aligned}\]
finalement,
\[\begin{aligned} \arg\left(\dfrac{\left(3 - i\sqrt{3}\right)^2}{\left(1-i\right)^3}\right)
&= \arg\left(\left(3 - i\sqrt{3}\right)^2\right) - \arg\left(\left(1 - i\right)^3\right) \\
&= \frac{11\pi}{3} - \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{53\pi}{12}
\end{aligned}\]
cet argument peut être simplifié par \( \dfrac{5\pi}{12} \) car \[
\frac{53\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} + 4\pi
\]
Note : \(\arg\left(\dfrac{\left(3 - i\sqrt{3}\right)^2}{\left(1-i\right)^3}\right) = 2\arg\left(3 - i\sqrt{3}\right) - 3\arg\left(1-i\right)\) (→ voir Formule de Moivre)
Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :
Écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle.
\[\begin{aligned}
z_{1}&=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)\\
&= 2\ \text{cis} \left( \frac{\pi}{4}\right) \implies \text{ immédiat } : \bbox[lightblue,5px] {|z_1|=2 \ \text{ et } \ \arg(z_1) = \frac{\pi}{4}}\\
z_{2}&=-2\left(\cos \tfrac{\pi}{4}+i \sin \tfrac{\pi}{4}\right) \\
&=2\left(-\cos \tfrac{\pi}{4}-i \sin \tfrac{\pi}{4}\right) \quad \textbf{est dans le 3ème quadrant}\\
&=2\left(\cos \tfrac{5\pi}{4}+i \sin \tfrac{5\pi}{4}\right)\\
&= 2\ \text{cis} \left( \tfrac{5\pi}{4}\right) \implies \bbox[lightblue,5px] {|z_2|=2 \ \text{ et } \ \arg(z_2) = \tfrac{5\pi}{4}}\\
z_{3}&=2\left(-\cos \tfrac{\pi}{4}+i \sin \tfrac{\pi}{4}\right)\quad \textbf{est dans le 2ème quadrant}\\
&= 2\left(\cos \tfrac{3\pi}{4}+i \sin \tfrac{3\pi}{4}\right)\\
&= 2\ \text{cis} \left( \tfrac{3\pi}{4}\right) \implies \bbox[lightblue,5px] {|z_3|=2 \ \text{ et } \ \arg(z_3) = \tfrac{3\pi}{4}}\\
z_{4}&=2\left(\cos \tfrac{\pi}{4}-i \sin \tfrac{\pi}{4}\right)\quad \textbf{est dans le 4ème quadrant}\\
&= 2\ \text{cis} \left( \tfrac{7\pi}{4}\right) \implies \bbox[lightblue,5px] {|z_4|=2 \ \text{ et } \ \arg(z_4) = \tfrac{7\pi}{4}}\\
\end{aligned}\]
