Table des matières
Opérations
Produit
Le produit de plusieurs nombres complexes non nuls est un nombre complexe dont le module est le produit des modules des facteurs et l'argument est la somme des arguments des facteurs. \[\bbox[lightyellow,5px]{z_1 \cdot z_2 = |z_1| \text{cis}(\theta_1) \cdot |z_2| \text{cis}(\theta_2) = |z_1| \cdot |z_2| \cdot \text{cis}(\theta_1+\theta_2)}\]
\[ \text{En effet : } \begin{aligned}[t] z_1 \cdot z_2 & =|z_1| \cdot\left(\cos \theta_1+i \cdot \sin \theta_1\right) \cdot |z_2| \cdot\left(\cos \theta_2+i \cdot \sin \theta_2\right) \\ & =|z_1| \cdot |z_2| \cdot\left[\left(\cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2-\sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2\right)+i \cdot\left(\sin \theta_1 \cdot \cos \theta_2+\sin \theta_2 \cdot \cos \theta_1\right)\right] \\ & =|z_1| \cdot |z_2| \cdot\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+i \cdot \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right] \\ & =|z_1| \cdot |z_2| \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_1+\theta_2\right) \end{aligned} \] Note : \(\bbox[lightyellow,5px]{\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)}\)
Interprétation géométrique du produit d’un nombre complexe \( w \) par un autre complexe \( z \) :
cela revient à appliquer à \( w \) une homothétie de centre 0 et de rapport \( |z| \), suivie d’une rotation de centre 0 et d’angle \( \text{arg}(z) \). Plus spécifiquement, multiplier un complexe \( w \) par un complexe \( z \) dont le module est égal à 1 revient à effectuer une rotation de \( w \) autour de l'origine d’un angle \( \text{arg}(z) \).
Exemple : Multiplier un complexe par \( i \) équivaut à effectuer une rotation d'un quart de tour du plan complexe autour de l'origine. Multiplier par \( i^2 \), en vertu de l’associativité du produit, revient à effectuer une rotation de deux quarts de tour, ce qui correspond à l’opération de prendre l’opposé, c’est-à-dire multiplier par \( -1 \).
Par exemple, en appliquant cette rotation au nombre complexe 1, on obtient \( i^2 \cdot 1 = -1 \), donc \( i^2 = -1 \).
Voici l’explication géométrique qui justifie que \( i^2 = -1 \).
Quotient
Le quotient de deux nombres complexes non nuls est un nombre complexe dont le module est le quotient du module du premier par le module du second l'argument est la différence entre l'argument du premier et l'argument du second. \[\bbox[lightyellow,5px]{\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}\text{cis}(\theta_1-\theta_2)}\]
Note : \(\bbox[lightyellow,5px]{\arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2)}\)
Inverse
En particulier, l'inverse d'un nombre complexe non nul \(z\) est un nombre complexe dont le module est l'inverse du module de \(z\) et l'argument est l'opposé de l'argument de \(z\) : \[\bbox[lightyellow,5px]{\frac{1}{z}=\frac{1}{|z|}\text{cis}(-\theta)}\]
Note : \(\bbox[lightyellow,5px]{\arg\left(\frac1z\right) = -\arg(z)}\)
Théorème de De Moivre
Pour tout nombre naturel \( n \) on a
\[\bbox[lightyellow,5px]{ \text{cis}^n(\theta) = \text{cis}(n\theta).} \]
c'est-à-dire : \(\bbox[lightyellow,5px]{(\cos \theta + i \cdot \sin \theta)^n = \cos \left(n \theta\right) + i \cdot \sin \left( n \theta\right) }\)
Démonstration par récurrence de la formule de DE MOIVRE :
$1^{\circ}$ Si $n=1$, la formule est vraie. En effet : $(\cos \theta + i \cdot \sin \theta)^1=1 \cdot(\cos \theta+i \cdot \sin \theta)$.
$2^{\circ}$ Supposons la formule vraie pour $n=k-1$ (hypothèse de récurrence) et démontrons qu'elle est vraie aussi pour $n=k$. $$\bbox[lightyellow,5px]{ \begin{aligned} (\cos \theta+i \cdot \sin \theta)^k= & (\cos \theta + i \cdot \sin \theta)^{k-1} \cdot(\cos \theta+i \cdot \sin \theta) \\ = & {[\cos \left((k-1) \theta\right) + i \cdot \sin \left((k-1) \theta\right)] \cdot(\cos \theta + i \cdot \sin \theta) \quad \text{(par Hyp. Réc.)}} \\ = & \cos \left((k-1) \theta\right) \cdot \cos \theta-\sin \left((k-1) \theta\right) \cdot \sin \theta \\ \quad & \quad+i \cdot(\cos \left((k-1) \theta\right) \cdot \sin \theta+\sin \left((k-1) \theta\right) \cdot \cos \theta) \\ = & \cos \left(k \theta\right)+i \cdot \sin \left(k \theta\right) \end{aligned}} $$
Puissances
Soit \( z = |z| \cdot \text{cis}(\theta) \) un nombre complexe et \( n \) un nombre naturel.
\[\bbox[lightyellow,5px]{ z^n = |z|^n \cdot \text{cis}(n\theta)} \]
Note : \(\bbox[lightyellow,5px]{\arg\left(z^n\right) = n\cdot \arg(z)}\)
Exemple : \[\begin{aligned}[t] (1 + i )^{2006} &= (\sqrt{2} \left( \cos(\pi/4) + i\cdot \sin(\pi/4) \right))^{2006} \\ &= \sqrt{2}^{2006} \left( \cos(2006 \pi/4) + i\cdot \sin(2006 \pi/4) \right) \\ &= 2^{1003} \left( \cos(3\pi/2) + i\cdot \sin(3\pi/2) \right) \\ &= -2^{1003} i \end{aligned}\] En terme d'argument : \[\arg\left((1 + i )^{2006}\right) = 2006\cdot \arg\left(1 + i\right) = \frac{2006\pi}{4} \equiv \frac{3\pi}{2}\]
Il aurait été impossible de développer la puissance 2006 de $1 + i$ de manière algébrique ! Quelle praticité d'utiliser la formule de De Moivre !
Exemples
Produit : pour \( z_1 = 3 \cdot \text{cis}\left( \frac{\pi}{9} \right) \) et \( z_2 = \sqrt{3} \cdot \text{cis}\left( \frac{7\pi}{18} \right) \), on a :
\[ z_1 \cdot z_2 = 3\sqrt{3} \cdot \text{cis}\left( \frac{\pi}{9} + \frac{7\pi}{18} \right) = 3\sqrt{3} \cdot \text{cis}\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3\sqrt{3} i. \]
Quotient : pour \( z_1 = \text{cis}\left( \frac{3\pi}{2} \right) \) et \( z_2 = 2 \cdot \text{cis}\left( \frac{\pi}{3} \right) \), on a :
\[ \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{cis}\left( \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \text{cis}\left( \frac{7\pi}{6} \right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{4}i. \]
Puissance : pour \( (-1 + i)^4 \), on a :
\[ (-1 + i)^4 = \left(\sqrt{2} \cdot \text{cis}\left( \frac{3\pi}{4} \right)\right)^4 = 4 \cdot \text{cis}(3\pi) = -4. \]
Utiliser la forme trigonométrique pour élever $-1 + i$ à la 4ème puissance est nettement plus facile que de le faire manuellement !
Utilisation de la formule de De Moivre
La formule de De Moivre est également utile pour déduire les expressions de \(\cos(n\theta)\) et \(\sin(n\theta)\) en termes de \(\cos(\theta)\) et \(\sin(\theta)\), appelées formules de duplication. En élevant un nombre complexe sous forme trigonométrique à la puissance \(2\), on peut facilement obtenir les formules de \(\cos(2\theta)\) et \(\sin(2\theta)\) comme illustré dans notre exemple. Cette méthode peut être généralisée pour obtenir les formules de \(\cos(n\theta)\) et \(\sin(n\theta)\) pour tout entier naturel \(n\).
Application : les formules de duplication
Pour trouver les formules de duplication pour \(\cos(2\theta)\) et \(\sin(2\theta)\), on égale: \[ (\cos(\theta) + i \sin(\theta))^2 = \cos(2\theta) + i \sin(2\theta) \] Développant le carré, on obtient: \[ \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) + 2i \cos(\theta) \sin(\theta) = \cos(2\theta) + i \sin(2\theta) \] En égalisant les parties réelles et imaginaires, on déduit que: \[ \begin{cases} \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \\ \sin(2\theta) = 2 \cos(\theta) \sin(\theta) \end{cases}\] Ces équations sont connues comme les formules trigonométriques de duplication pour le cosinus et le sinus.
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