Opérations

Le produit de plusieurs nombres complexes non nuls est un nombre complexe dont le module est le produit des modules des facteurs et l'argument est la somme des arguments des facteurs. $\bbox[lightyellow,5px]{z_1 \cdot z_2 = |z_1| \text{cis}(\theta_1) \cdot |z_2| \text{cis}(\theta_2) = |z_1| \cdot |z_2| \cdot \text{cis}(\theta_1+\theta_2)}$

$\text{En effet : } \begin{aligned}[t] z_1 \cdot z_2 & =|z_1| \cdot\left(\cos \theta_1+i \cdot \sin \theta_1\right) \cdot |z_2| \cdot\left(\cos \theta_2+i \cdot \sin \theta_2\right) \\ & =|z_1| \cdot |z_2| \cdot\left[\left(\cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2-\sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2\right)+i \cdot\left(\sin \theta_1 \cdot \cos \theta_2+\sin \theta_2 \cdot \cos \theta_1\right)\right] \\ & =|z_1| \cdot |z_2| \cdot\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+i \cdot \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right] \\ & =|z_1| \cdot |z_2| \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_1+\theta_2\right) \end{aligned}$ Note : $\bbox[lightyellow,5px]{\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)}$

Interprétation géométrique du produit d’un nombre complexe $w$ par un autre complexe $z$ :
cela revient à appliquer à $w$ une homothétie de centre 0 et de rapport $|z|$ , suivie d’une rotation de centre 0 et d’angle $\text{arg}(z)$ . Plus spécifiquement, multiplier un complexe $w$ par un complexe $z$ dont le module est égal à 1 revient à effectuer une rotation de $w$ autour de l'origine d’un angle $\text{arg}(z)$ .

Exemple : Multiplier un complexe par $i$ équivaut à effectuer une rotation d'un quart de tour du plan complexe autour de l'origine. Multiplier par $i^2$ , en vertu de l’associativité du produit, revient à effectuer une rotation de deux quarts de tour, ce qui correspond à l’opération de prendre l’opposé, c’est-à-dire multiplier par $-1$ .

Par exemple, en appliquant cette rotation au nombre complexe 1, on obtient $i^2 \cdot 1 = -1$ , donc $i^2 = -1$ .

Voici l’explication géométrique qui justifie que $i^2 = -1$ .

Le quotient de deux nombres complexes non nuls est un nombre complexe dont le module est le quotient du module du premier par le module du second l'argument est la différence entre l'argument du premier et l'argument du second. $\bbox[lightyellow,5px]{\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}\text{cis}(\theta_1-\theta_2)}$

Note : $\bbox[lightyellow,5px]{\arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2)}$

Preuve

$\text{En effet : } \begin{aligned}[t] \frac{z_1}{z_2} & =\frac{|z_1| \cdot\left(\cos \theta_1+i \cdot \sin \theta_1\right)}{|z_2| \cdot\left(\cos \theta_2+i \cdot \sin \theta_2\right)} \\ & =\frac{|z_1| \cdot\left(\cos \theta_1+i \cdot \sin \theta_1\right) \cdot\left(\cos \theta_2-i \cdot \sin \theta_2\right)}{|z_2| \cdot\left(\cos \theta_2+i \cdot \sin \theta_2\right) \cdot\left(\cos \theta_2-i \cdot \sin \theta_2\right)} \\ & =\frac{|z_1| \cdot\left[\left(\cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2+\sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2\right)+i \cdot\left(\sin \theta_1 \cdot \cos \theta_2-\sin \theta_2 \cdot \cos \theta_1\right)\right]}{|z_2| \cdot\left(\cos ^2 \theta_2+\sin ^2 \theta_2\right)} \\ & =\frac{|z_1|}{|z_2|} \cdot\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+i \cdot \sin \left(\theta_1-\theta_2\right)\right] \\ & =\frac{|z_1|}{|z_2|} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_1-\theta_2\right) \end{aligned}$

En particulier, l'inverse d'un nombre complexe non nul $z$ est un nombre complexe dont le module est l'inverse du module de $z$ et l'argument est l'opposé de l'argument de $z$ : $\bbox[lightyellow,5px]{\frac{1}{z}=\frac{1}{|z|}\text{cis}(-\theta)}$

Note : $\bbox[lightyellow,5px]{\arg\left(\frac1z\right) = -\arg(z)}$

Preuve

$\begin{aligned}[t] \frac 1z = \frac{1}{r\cdot \text{cis}\left(\theta\right)} &= \frac{1}{r\cdot \left(\cos{\theta}+\mathbf{i} \sin{\theta}\right)} \quad \text{avec } \; r=|z|\\ &= \frac{\cos{\theta}-\mathbf{i} \sin{\theta}}{r\cdot \left(\cos^2{\theta}+ \sin^2{\theta}\right)} \\ &= \frac{\cos{\theta}-\mathbf{i} \sin{\theta}}{r} \\ &= \frac1r \left(\cos\left(-\theta\right) + \mathbf{i} \sin\left(-\theta\right)\right) \quad \text{car} \; \cos{\theta}=\cos\left(-\theta\right) \; \text{et} \; -\sin{\theta}=\sin\left(-\theta\right)\\ &= \frac1r\cdot \text{cis}\left(-\theta\right) \end{aligned}$

ou bien : il suffit de poser $z_1=1\cdot \text{cis} (0)$ dans la formule qui précède

Pour tout nombre naturel $n$ on a

$\bbox[lightyellow,5px]{ \text{cis}^n(\theta) = \text{cis}(n\theta).}$

c'est-à-dire : $\bbox[lightyellow,5px]{(\cos \theta + i \cdot \sin \theta)^n = \cos \left(n \theta\right) + i \cdot \sin \left( n \theta\right) }$

Démonstration par récurrence de la formule de DE MOIVRE :

$1^{\circ}$ Si $n=1$ , la formule est vraie. En effet : $(\cos \theta + i \cdot \sin \theta)^1=1 \cdot(\cos \theta+i \cdot \sin \theta)$ .

$2^{\circ}$ Supposons la formule vraie pour $n=k-1$ (hypothèse de récurrence) et démontrons qu'elle est vraie aussi pour $n=k$ . $\bbox[lightyellow,5px]{ \begin{aligned} (\cos \theta+i \cdot \sin \theta)^k= & (\cos \theta + i \cdot \sin \theta)^{k-1} \cdot(\cos \theta+i \cdot \sin \theta) \\ = & {[\cos \left((k-1) \theta\right) + i \cdot \sin \left((k-1) \theta\right)] \cdot(\cos \theta + i \cdot \sin \theta) \quad \text{(par Hyp. Réc.)}} \\ = & \cos \left((k-1) \theta\right) \cdot \cos \theta-\sin \left((k-1) \theta\right) \cdot \sin \theta \\ \quad & \quad+i \cdot(\cos \left((k-1) \theta\right) \cdot \sin \theta+\sin \left((k-1) \theta\right) \cdot \cos \theta) \\ = & \cos \left(k \theta\right)+i \cdot \sin \left(k \theta\right) \end{aligned}}$

Soit $z = |z| \cdot \text{cis}(\theta)$ un nombre complexe et $n$ un nombre naturel.

$\bbox[lightyellow,5px]{ z^n = |z|^n \cdot \text{cis}(n\theta)}$

Note : $\bbox[lightyellow,5px]{\arg\left(z^n\right) = n\cdot \arg(z)}$

Exemple : $\begin{aligned}[t] (1 + i )^{2006} &= (\sqrt{2} \left( \cos(\pi/4) + i\cdot \sin(\pi/4) \right))^{2006} \\ &= \sqrt{2}^{2006} \left( \cos(2006 \pi/4) + i\cdot \sin(2006 \pi/4) \right) \\ &= 2^{1003} \left( \cos(3\pi/2) + i\cdot \sin(3\pi/2) \right) \\ &= -2^{1003} i \end{aligned}$ En terme d'argument : $\arg\left((1 + i )^{2006}\right) = 2006\cdot \arg\left(1 + i\right) = \frac{2006\pi}{4} \equiv \frac{3\pi}{2}$

Il aurait été impossible de développer la puissance 2006 de $1 + i$ de manière algébrique ! Quelle praticité d'utiliser la formule de De Moivre !

Pour trouver les formules de duplication pour $\cos(2\theta)$ et $\sin(2\theta)$ , on égale: $(\cos(\theta) + i \sin(\theta))^2 = \cos(2\theta) + i \sin(2\theta)$ Développant le carré, on obtient: $\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) + 2i \cos(\theta) \sin(\theta) = \cos(2\theta) + i \sin(2\theta)$ En égalisant les parties réelles et imaginaires, on déduit que: $\begin{cases} \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \\ \sin(2\theta) = 2 \cos(\theta) \sin(\theta) \end{cases}$ Ces équations sont connues comme les formules trigonométriques de duplication pour le cosinus et le sinus.

Opérations

Produit

Quotient

Inverse

Théorème de De Moivre

Puissances

Exemples

Utilisation de la formule de De Moivre

Application : les formules de duplication