Racines énième d'un nombre complexe

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Soit $ z \in \mathbb{C} $ et $ n \in \mathbb{N} $. Une racine $ n $-ième d'un nombre complexe $ z $ est un nombre complexe $ w \in \mathbb{C} $ tel que $ w^n = z $.

Tout nombre complexe possède exactement $ n $ racines $ n $-ièmes distinctes.

Les racines $ n $-ièmes de $ z $, où $ z = |z| \cdot \text{cis}(\theta) $, sont données par les $ n $ nombres complexes suivants :

\[ w_k = \sqrt[n]{|z|} \cdot \text{cis}\left(\frac{\theta + 2 k \pi}{n}\right) \qquad \text{pour} \ k = 0, 1, \ldots, n - 1 \]

L'égalité de deux nombres complexes et la formule de De Moivre explique ce résultat :

Soit un nombre complexe $ z $ représenté sous la forme trigonométrique $ z = |z| \cdot \text{cis}(\theta) $

On cherche les racines $ n $-ièmes de $ z $, c'est-à-dire les nombres complexes $ w $ tels que $ w^n = z $.

La formule de De Moivre nous dit que si un nombre complexe $ w $ est représenté sous la forme trigonométrique $ w = r \cdot \text{cis}(\phi) $ alors $ w^n = r^n \cdot \text{cis}(n\phi) $

L'égalité $ w^n = z $ implique \[ r^n \cdot \text{cis}(n\phi) = |z| \cdot \text{cis}(\theta) \]

Pour que cette égalité soit vraie, deux conditions doivent être satisfaites :

1. Égalité des modules : $ r $, le module de $ w $, doit être égal à $ \sqrt[n]{|z|} $, c'est-à-dire la racine $ n $-ième du module de $ z $.

2. Égalité des arguments : $ n\phi = \theta + 2k\pi $ où $ k $ est un entier (pour tenir compte de la périodicité des angles). L'angle $ \phi $ de $ w $ doit satisfaire $ \phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n} $.

Ainsi, les racines $ n $-ièmes de $ z $ sont les nombres complexes de la forme : \[ w_k = \sqrt[n]{|z|} \cdot \text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \] où $ k = 0, 1, \dots, n-1 $.

Exemple : On recherche les racines cubiques $w_0$, $w_1$, $w_2$ du nombre complexe $z=1$ :

on a : $|z|=1$ et $\theta=\arg{(z)}=0$

et $ w_k = \sqrt[3]{1} \cdot \text{cis}\left(\frac{0 + 2 k \pi}{3}\right) \qquad k = 0, 1, 2 $

par conséquent :

$ \begin{cases} k=0 & \implies w_0=1 \cdot \text{cis}(0) = 1 \\ k=1 & \implies w_1=\text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right) \\ k=2 & \implies w_2=\text{cis}\left(\frac{4\pi}{3}\right) \end{cases} $

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\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
%   \draw[lightgray] (-2,-2) grid (4,3);
\draw[->,>=latex, gray] (-4.5,0)--(4.5,0);
\draw[->,>=latex, gray] (0,-3.5)--(0,3.5);
\coordinate (A) at (120:2.5);
\coordinate (B) at (240:2.5);
\draw[thick,gray] (0,0) circle(2.5);
\draw[thick, gray] (0,0)--(2.5,0);
\draw[thick,gray] (0,0)--(A);
\draw[thick,gray] (0,0)--(B);
\fill (2.5,0) circle (2pt);
\fill (0,0) circle (1pt);
\fill (0,2.5) circle (1pt);
\fill (A) circle (2pt);
\fill (B) circle (2pt);
\fill[thick,color=white] (0,0) circle (1.5pt);
%\node at (0,0) [below left] {$0$}; 
\node at (2.5,0) [above right, color=black,font=\small] {$w_0=1$}; 
\node at (0,2.5) [above left] {$i$}; 
\node at (A) [above left, color=black,font=\small] {$w_1=-\frac12+\frac{\sqrt{3}}{2}i$};
\node at (B) [below left, color=black,font=\small] {$w_2=-\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i$};
\draw[black, very thick] (2.5,0)--(A)--(B) --cycle;
\draw[->,>=latex] (0:.5) arc (0:120:.5) node [midway,sloped,above] {\small $120^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Racines cubiques de $-1$ : $\left\{ \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right), \text{cis}\left(\frac{\pi+2 \pi}{3}\right), \text{cis}\left(\frac{\pi+4 \pi}{3}\right)\right\} =\left\{ \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right), -1, \text{cis}\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right\}$

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\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
%   \draw[lightgray] (-2,-2) grid (4,3);
\draw[->,>=latex, gray] (-4.5,0)--(4.5,0);
\draw[->,>=latex, gray] (0,-3.5)--(0,3.5);
\coordinate (A) at (60:2.5);
\coordinate (B) at (-60:2.5);
\draw[thick,gray] (0,0) circle(2.5);
{
\draw[thick, gray] (0,0)--(-2.5,0);
\draw[thick,gray] (0,0)--(A);
\draw[thick,gray] (0,0)--(B);
 
}
\fill (-2.5,0) circle (2pt);
\fill (2.5,0) circle (1pt);
\fill (0,2.5) circle (1pt);
\fill (A) circle (2pt);
\fill (B) circle (2pt);
\fill[thick] (0,0) circle (1.5pt);
\node at (0,0) [below left] {$0$}; 
\node at (2.5,0) [below right] {$1$}; 
\node at (-2.5,0) [above left, color=black] {$-1=\text{cis}(\pi)$}; 
\node at (0,2.5) [above left] {$i$}; 
\node at (A) [above right, color=black] {$\text{cis}\frac{\pi}{3}$};
\node at (B) [below right, color=black] {$\text{cis}\left(-\frac{\pi}{3}\right)$};
{
\draw[black, very thick] (-2.5,0)--(A)--(B) --cycle;
}
\end{tikzpicture}
\end{document}