De Moivre : l'essence de l'essentiel
Voici un résumé rapide de ce que nous triatons dans cette partie.
Étant donné un point $ (x, y) $ dans le plan, on peut aussi le voir sous forme algébrique dans $\mathbb{C}$ par $ x + \mathrm{i} y $ ou sous forme trigonométrique :
\[ r (\cos (\theta) + \mathrm{i} \cdot \sin (\theta)) \]
La forme polaire facilite les calculs de multiplication, de mise à la puissance, et de l'extraction de racines :
\[ r_1(\cos\theta_1 + \mathrm{i} \cdot \sin\theta_1) \cdot r_2(\cos\theta_2 + \mathrm{i} \cdot \sin\theta_2) = (r_1 r_2) (\cos(\theta_1 + \theta_2) + \mathrm{i} \cdot \sin(\theta_1 + \theta_2)) \]
Racines n-ième : nous savons comment élever la forme trigonométrique d'un nombre complexe à la $n-$ième puissance via :
\[ (r (\cos(\theta) + \mathrm{i} \sin(\theta)))^n = r^n (\cos(n \theta) + \mathrm{i} \sin(n \theta)) \]
Dès lors, nous sommes aussi capables de trouver les racines $n-$ième d'un nombre complexe :
\[ z = r(\cos(\theta) + \mathrm{i} \sin(\theta)) \]
$z$ possède $n$ racines $n-$ième distinctes :
\[ r^{\frac{1}{n}} \left(\cos \left(\dfrac{\theta + 2\pi k}{n} \right) + \mathrm{i} \sin \left( \dfrac{\theta + 2\pi k}{n} \right) \right) \]
pour $k = 0, 1, \dots, n-1$. Ici, $r^{\frac{1}{n}}$ est la racine n-ième réelle positive de $r$.
16 visites