Forme trigonométrique

Soit $z$ un nombre complexe non nul : $z=a+b\ \mathbf{i}$ .
On exprime $a$ et $b$ en fonction du module $|z|$ de $z$ et de son argument principal $\theta$ comme suit :

$\begin{aligned} z =a+b\ \mathbf{i} &=|z| \cos(\theta) + |z| \sin(\theta) \cdot\ \mathbf{i} \\ &=|z|(\cos(\theta)+\ \mathbf{i}\sin(\theta)) \\ &= r\cdot \text{cis}(\theta) \quad \text{(notation abrégée où $r=|z|$)} \end{aligned}$

L'argument d'un nombre complexe $z$ correspond à l'angle formé entre l'axe des réels positifs (l'axe des abscisses) et la droite passant par l'origine et le point associé à $z$ .

Pour convertir le nombre complexe $z = 1 + \mathbf{i}\sqrt{3}$ en forme trigonométrique, nous devons déterminer deux choses :

1. Le module $r$ : qui est la distance de $z$ à l'origine dans le plan complexe.

2. L'argument $\theta$ : qui est l'angle formé par le segment reliant $z$ à l'origine et l'axe des réels.

1. Calcul du module $r$ : $r = |z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$

2. Calcul de l'argument $\theta$ : Nous utilisons généralement la fonction $\arctan$ (ou $\tan^{-1}$ ) pour trouver l'argument. Dans ce cas, $\theta = \arctan\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$

Rappelez-vous que $\arctan(\sqrt{3})$ donne $\frac{\pi}{3}$ car $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ .

Le cercle trigonométrique est un outil précieux pour trouver l'argument d'un nombre complexe.

Donc, en forme trigonométrique, le nombre complexe $z = 1 + \mathbf{i}\sqrt{3}$ s'écrit : $z = 2 \cdot \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Un nombre complexe non nul $z$ a une infinité d'arguments: si $\theta$ est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la forme $\theta+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
On note $\mbox{arg}(z)=\theta$ (modulo $2\pi$ ), ou $\mbox{arg}(z)=\theta \pmod {2\pi}$ , ou encore, pour simplifier (abus de langage), $\mbox{arg}(z)=\theta$ .

Deux nombres complexes conjugués ont le même module et des arguments opposés. $\bbox[lightblue,5px] { \arg(\ \overline{z}\ ) = -\arg(z) \pmod {2\pi} }$ Leurs points-images associés sont symétriques par rapport à l'axe réel.

De même : $\begin{aligned} \arg (-\overline{z}) & =\pi-\arg (z) \pmod {2\pi} \\ \arg (-z) & =\pi+\arg (z) \pmod {2\pi} \end{aligned}$

$0\in\mathbb{C}$ n'a pas d'argument et est de module nul.
Les nombres réels positifs ont un argument nul et sont égaux à leur module. $x\in\mathbb{R}^+ \implies x=x\cdot \text{cis}\left(0\right)=x\cdot \text{cis}\left(2\pi\right)$
Les nombres réels négatifs ont un argument égal à $\pi$ et leur module est égal à leur valeur absolue. $x\in\mathbb{R}^- \implies x=|x|\cdot \text{cis}\left(\pi\right)$
Un nombre complexe est un réel négatif si et seulement si son argument est égal à $\pi$ modulo $2\pi$ : $z \in \mathbb{R}^- \iff \arg(z) = \pi + 2k\pi \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{Z}$

Égalité : $r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \iff r_1 = r_2$ et $\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Nullité : $r \cdot \text{cis}\left(\theta\right) = 0 \iff r = 0$

complexe de module 1 : $\text{cis}\left(\theta\right)$ représente un complexe de module 1

Conjugué : soit $z= r \cdot \text{cis}\left(\theta\right)$
$\overline{z}$ a pour représentant le symétrique de celui de $z$ par rapport à l'axe polaire, donc a même module $r$ et un argument opposé.
$\overline{z} = r \cdot \text{cis}\left(-\theta\right)$

Opposé : soit $z= r \cdot \text{cis}\left(\theta\right)$
$-z$ a pour représentant le symétrique de celui de $z$ par rapport à $0$ , donc a même module $r$ et un argument augmenté de $\pi$ .
dès lors, $-z = r \cdot \text{cis}\left(\theta + \pi\right)$

Addition : $r_1 \cdot \text{cis}\left(\theta_1\right) + r_2 \cdot \text{cis}\left(\theta_2\right)$ ne se réalise pas facilement dans ce point de vue

Produit : $r_1 \cdot \text{cis}\left(\theta_1\right) \cdot r_2 \cdot \text{cis}\left(\theta_2\right) = r_1 \cdot r_2 \cdot \text{cis}\left(\theta_1+\theta_2\right)$ voir le détail

→ Voir Méthodes et savoir-faire pour maîtriser les notions de modules et d'arguments des nombres complexes à travers des exercices auto-corrigés.

Forme trigonométrique

Traduction des propriétés