Lieux géométriques dans $\mathbb C$ : exercices

Exercice 1 : A tout nombre complexe $z \neq-2$, on associe le nombre complexe $z^{\prime}$ défini par : $$z^{\prime}=\frac{z-4 \mathrm{i}}{z+2}$$ L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left|z^{\prime}\right|=1$ est :

un cercle de rayon 1
une droite
une droite privée d'un point
un cercle privé d'un point

Solution

\begin{align} \left|z^{\prime}\right|=1 &\iff \left|\frac{z-4 \mathrm{i}}{z+2}\right|=1\\ &\iff \left|z-4 \mathrm{i}\right|=\left|z+2\right|\\ &\iff \left|x+y\mathrm{i} - 4 \mathrm{i}\right|=\left|x+y\mathrm{i} +2\right|\\ &\iff x^2+(y-4)^2=(x+2)^2+y^2\\ &\iff x+2y-3=0 \end{align} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left|z^{\prime}\right|=1$ est une droite privée du point $\left(2,\frac{1}{2}\right)$

Exercice 2 : Dans le plan complexe, les points $ C $ et $ D $ ont pour affixes respectives $ 1 + 4i $ et $ 2 - i $.

Calculer la distance $ CD $.
Soit $ A $ d’affixe $ z $, un point du cercle de centre $ O $ et de rayon 3. Calculer $ z \cdot \overline{z} $.

Solution

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Exercice 3 : Déterminer l’ensemble des points $ M $ d’affixe $ z $ tels que :

$ |z - 1 - 4i| = 2 $
$ |z - 1 - 4i| = |z - 2 + i| $
$ |z - (2 + 3i)| = 1 $
$ |z - i| = |z - (1 + 2i)| $
$ |z - 12| = \frac{5}{3} |z - 8i| $

Solution

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Exercice 4 : Les points A, B, C ont pour affixes respectives $z_A = -4$, $z_B = -1 + i\sqrt{3}$ et $z_C = -1 - i\sqrt{3}$. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

Solution

$ AB = |z_B - z_A| = |-1 + i\sqrt{3} + 4| = |3 + i\sqrt{3}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $

$ AC = |z_C - z_A| = |-1 - i\sqrt{3} + 4| = |3 - i\sqrt{3}| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $

$ BC = |z_C - z_B| = |-1 - i\sqrt{3} + 1 + i\sqrt{3}| = |-2i\sqrt{3}| = 2\sqrt{3} $ le module d’un imaginaire pur est égal à la valeur absolue de sa partie imaginaire

on a AB = AC = BC et le triangle ABC a ses trois côtés de même longueur : c’est un triangle équilatéral.

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