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Piste : • exercices

Lieux géométriques dans \(\mathbb C\) : exercices

Exercice 1 : A tout nombre complexe $z \neq-2$, on associe le nombre complexe $z^{\prime}$ défini par : $$z^{\prime}=\frac{z-4 \mathrm{i}}{z+2}$$ L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left|z^{\prime}\right|=1$ est :

  1. un cercle de rayon 1
  2. une droite
  3. une droite privée d'un point
  4. un cercle privé d'un point

Solution

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\begin{align} \left|z^{\prime}\right|=1 &\iff \left|\frac{z-4 \mathrm{i}}{z+2}\right|=1\\ &\iff \left|z-4 \mathrm{i}\right|=\left|z+2\right|\\ &\iff \left|x+y\mathrm{i} - 4 \mathrm{i}\right|=\left|x+y\mathrm{i} +2\right|\\ &\iff x^2+(y-4)^2=(x+2)^2+y^2\\ &\iff x+2y-3=0 \end{align} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left|z^{\prime}\right|=1$ est une droite privée du point \(\left(2,\frac{1}{2}\right)\)

Exercice 2 : Dans le plan complexe, les points \( C \) et \( D \) ont pour affixes respectives \( 1 + 4i \) et \( 2 - i \).

  1. Calculer la distance \( CD \).
  2. Soit \( A \) d’affixe \( z \), un point du cercle de centre \( O \) et de rayon 3. Calculer \( z \cdot \overline{z} \).


Solution

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Exercice 3 : Déterminer l’ensemble des points \( M \) d’affixe \( z \) tels que :

  1. \( |z - 1 - 4i| = 2 \)
  2. \( |z - 1 - 4i| = |z - 2 + i| \)
  3. \( |z - (2 + 3i)| = 1 \)
  4. \( |z - i| = |z - (1 + 2i)| \)
  5. \( |z - 12| = \frac{5}{3} |z - 8i| \)


Solution

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Exercice 4 : Les points A, B, C ont pour affixes respectives \(z_A = -4\), \(z_B = -1 + i\sqrt{3}\) et \(z_C = -1 - i\sqrt{3}\). Montrer que le triangle ABC est équilatéral.


Solution

Solution

\( AB = |z_B - z_A| = |-1 + i\sqrt{3} + 4| = |3 + i\sqrt{3}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

\( AC = |z_C - z_A| = |-1 - i\sqrt{3} + 4| = |3 - i\sqrt{3}| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

\( BC = |z_C - z_B| = |-1 - i\sqrt{3} + 1 + i\sqrt{3}| = |-2i\sqrt{3}| = 2\sqrt{3} \) le module d’un imaginaire pur est égal à la valeur absolue de sa partie imaginaire

on a AB = AC = BC et le triangle ABC a ses trois côtés de même longueur : c’est un triangle équilatéral.

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algebre/nombres-complexes/lieux-geometriques/exercices.txt · Dernière modification : 2024/09/27 23:05 de flancereau