Prérequis d'Algèbre
Propriétés
- Associativé : $a(bc) = (ab)c$
- Commutativité : $a + b = b + a$ et $ab = ba$
- Distributivité : $a(b + c) = ab + ac$
Exemples d'Opérations Arithmétiques
\begin{align*}
ab + ac &= a(b + c) \\
a \left(\frac{b}{c}\right) &= \frac{ab}{c} \\
\frac{\left(\tfrac{a}{b}\right)}{c} &= \frac{a}{bc} \\
\end{align*}
Exemples d'Opérations Arithmétiques
\begin{align*}
\frac{a}{\left(\tfrac{b}{c}\right)} &= \frac{ac}{b} \\
\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} &= \frac{ad \pm bc}{bd} \\
\frac{a - b}{c - d} &= \frac{b-a}{d-c} \\
\end{align*}
Exemples d'Opérations Arithmétiques
\begin{align*}
\frac{a + b}{c} &= \frac{a}{c}+\frac{b}{c} \\
\frac{ab + ac}{a} &= b + c, \quad a \neq 0 \\
\frac{\left(\tfrac{a}{b}\right) }{ \left(\tfrac{c}{d}\right)} &= \frac{ad}{bc}
\end{align*}
Équation Quadratique
Pour l'équation $ax^2 + bx + c = 0$
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
Complétion du Carré
Pour $ax^2 + bx + c = a(\ldots)^2 + \text{constante}$
- Divisez par le coefficient $a$.
- Déplacez la constante de l'autre côté.
- Prenez la moitié du coefficient $b/a$, élevez-le au carré et ajoutez-le des deux côtés.
- Factorisez le côté gauche de l'équation.
- Utilisez la propriété de la racine carrée.
- Résolvez pour $x$.
Propriétés des Radicaux d'indice $n$
Pour $a, b \geq 0$ si $n$ est pair
$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \\
& \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a} \\
& \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \\
& \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \\
& \sqrt[n]{a^n} = a, \text{ si } n \text{ est impair} \\
& \sqrt[n]{a^n} = |a|, \text{ si } n \text{ est pair}
\end{aligned}
$$
Exemples de Factorisation
$$
\begin{aligned}
& x^2 - a^2 = (x + a)(x - a) \\
& x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2 \\
& x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 \\
& x^2 - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b) \\
& x^3 \pm 3ax^2 + 3a^2x \pm a^3 = (x \pm a)^3 \\
& x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2) \\
& x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2) \\
& x^{2n} - a^{2n} = (x^n - a^n)(x^n + a^n)
\end{aligned}
$$
Propriétés des Inégalités
- Si $a < b$, alors $a + c < b + c$ et $a - c < b - c$.
- Si $a < b$ et $c > 0$, alors $ac < bc$ et $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.
- Si $a < b$ et $c < 0$, alors $ac > bc$ et $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
Valeur Absolue
$$
|a| = \begin{cases}
a, & \text{si } a \geq 0 \\
-a, & \text{si } a < 0
\end{cases}
$$
- $|a| = |-a|$
- $|a| \geq 0$
- $|ab| = |a||b|$
- $\left|\frac{a}{b}\right| = \left|\frac{a}{b}\right|$
- $|a + b| \leq |a| + |b|$
Propriétés des Nombres Complexes
$$
\begin{aligned}
& i = \sqrt{-1} \\
& i^2 = -1 \\
& \sqrt{-a} = i \sqrt{a}, \quad a \geq 0 \\
& (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i \\
& (a + bi) - (c + di) = a - c + (b - d)i \\
& (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i \\
& (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \\
& |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \\
& \overline{(a + bi)} = a - bi \\
& \overline{(a + bi)}(a + bi) = |a + bi|^2 \\
& \frac{1}{(a + bi)} = \frac{(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}
\end{aligned}
$$