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Solution : $\begin{aligned}[t]u_{n+1}-u_{n} &= \left( 25-6\left( n+1 \right) \right)-\left( 25-6 \right)\\ &= -6\end{aligned}$
$-6$ est une constante. $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r=-6$ et de premier terme $u_1 = 25-6=19$.

Solution : $u_{n+1}-u_{n} = (n+1)^2-3 - \left( n^2-3 \right) = 2n+1$ n'est pas une quantité constante (elle varie en fonction du rang $n$). $(u_n)$ n'est donc pas une suite arithmétique. Il n'y a pas de sens à calculer une quelconque raison.

Solution : $u_{n+1}-u_{n} =\frac{3+n}{5}-\frac{2+n}{5} = \frac{3+n-2-n}{5} = \frac15$ est une constante. $(u_n)$ est bien une suite arithmétique de raison $r=\frac25$ et de premier terme $u_1 = \frac35$

Solution : remarque : $u_n=n^2-(n+3)^2=-6n-9$
$u_{n+1}-u_{n} = \ldots = -6$ est une constante. $(u_n)$ est bien une suite arithmétique et $r=-6$ est la raison de celle-ci. $u_1 = -15$

Solution : Immédiat, il suffit de permuter $9$ et $u_n$ dans la relation de récurrence donnée dans l'énoncé pour retrouver la définition par récurrence d'une suite arithmétique. La raison vaut $r=9$ et son premier terme est $u_1=-7$

Solution : Cette suite n'est pas une suite arithmétique. Il suffit de calculer plusieurs termes pour s'en assurer. Ici, trois termes suffisent pour s'en rendre compte : $u_1=15$ ; $u_2 = 3-15=-12$ et $u_3=3-(-12) = 15$ $$u_2-u_1 = -27 \neq u_3-u_2 = 27$$
On pouvait aussi déterminer la différence de termes consécutifs : $$u_{n+1}-u_n=\left(3-u_n\right)-u_n \iff u_{n+1}-u_n=3-2u_n$$
$3-2u_n$ varie en fonction de $u_n$, la suite n'est pas arithmétique.

$\left\{ \begin{array}{l} u_1=-7\\ u_{n+1}=u_n+2 \text{ pour }n\geqslant 1 \end{array} \right.$

$u_2 = -5$, $u_3=-3$, on exprime $u_n$ en fonction de $n$ par la formule $u_n = 2n-9$

dès lors, $u_{10} = 20-9=11$ et $u_{99} = 2\cdot 99 -9=189$

$u_{50} = u_1 + 49\cdot r \iff 100=u_1 + 49\cdot 2 \iff u_1 = 100-2\cdot49 = 2$

Quand sa raison est positive.

$\textbf{u}_{2004} = u_1 + 2003 \cdot r = -2+2003.3 = 6007$

$\textbf{u}_{5}=36$, $\textbf{u}_{42}=-112$

$r=\dfrac{\textbf{u}_{41}-\textbf{u}_{12}}{41-12}=\dfrac{22}{29}$

Solution : $u_8=u_1+7\cdot r \iff 0=u_1+7\cdot \frac25 \iff u_1=-\frac{14}{5}$ $$u_n = -\frac{14}{5} + \left( n-1 \right)\frac25 \, \textrm{ ou mieux } \, \boxed{u_n = \frac{2n-16}{5}}$$ $u_{12} = \dfrac85$ et $u_{999} = \dfrac{1982}{5}$

Solution : $r=\dfrac{u_5-u_1}{5-1} \implies r = \dfrac52$

$$u_n = -10+\left( n-1 \right)\dfrac52$$ ou mieux $$u_n = \dfrac{5n-25}{2}$$

on trouve $u_{25}=50$ et $u_{2005}=5000$

Solution : $(\textbf{u}_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ est une suite arithmétique car $$u_{n+1}-u_{n} = 1-3\left( n+1 \right)-\left( 1-3n \right)=-3$$

Solution : on sait que $u_3=u_1+2r$ et $u_6=u_1+5r$ $$u_3+u_6=1 \iff u_1+2r+u_1+5r=1 \iff 2u_1+7r=1$$

de même, $u_8=0 \iff u_1+7r=0 \iff u_1=-7r$

en injectant ce résultat dans l'équation $2u_1+7r=1$, on obtient $r=-1/7$ et $u_1 = 1$

Immédiat : premier terme : $u_0=2200$ et la raison $r=-300$

1)

2) à chaque étape, un morceau est fractionné en quatre parties identiques dont une est conservée pour le fractionnement suivant; à chaque étape, on ajoute donc trois morceaux à la figure précédente. Les quatre premiers termes de la suite $\left(M_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ illustrent bien ce qui précède. La suite $\left(M_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est bien une suite arithmétique de premier terme $M_0=1$ et de raison $r=3$. Son terme général est $M_n=1+3n$

3) Le nombre d'étapes permettant de réduire ce devoir en au moins mille morceaux se déduit de l'inéquation $M_n\geq 1000$ : $$1+3n \geq 1000 \iff n \geq 333$$ $333$ étapes sont nécessaires pour réduire ce devoir en au moins mille morceaux.

on pose $u_1=1$; la raison est visiblement $r=3$ $$\begin{aligned} \textrm{S} &= \sum_{k=1}^{20} u_k \\ &= \dfrac{u_1+u_{20}}{2}\cdot 20 \qquad \textbf{avec} \qquad u_{20}=u_1+19\cdot r = 1 + 19\cdot 3 = 58 \\ &= \dfrac{1+{58}}{2}\cdot 20 = 590 \end{aligned}$$

Il faut d'abord vérifier que les termes de cette suite sont ceux d'une suite arithmétique puis calculer le nombre de termes dans cette somme.

On note $u_1$ le premier terme !

1. Les termes de la somme sont ceux d'une suite arithmétique de premier terme $5$ et de raison $2$ : $u_n=5+2\left(n-1\right) = 2n+3$ et $u_n=49 \iff 2n+3=49 \iff n=23$
   La somme contient donc $23$ termes et $$5+7+9+\ldots+49 = \dfrac{u_1+u_{23}}{2}\cdot 23 = \dfrac{5+49}{2}\cdot 23 = 621$$
2. $u_n=7+8\left(n-1\right) = 8n-1$ et $u_n=1207 \iff 8n-1=1207 \iff n=151$ $$ 7 + 15 + 23 + \ldots + 1207 = \dfrac{7+1207}{2}\cdot 151 = 91657$$
3. $200+201+202+\ldots+299=24950$
4. $550+540+530+\ldots+100 = 14950$

On constate que $u_n=u_{n-1}+4$, donc $(u_n)_{n\geqslant1}$ est une suite arithmétique de raison $r=4$.

Ainsi, la somme des 20 premiers termes est : \begin{align*} u_1+u_2+\cdots+u_{20} & = (\text{nombre de termes dans la somme}) \times \dfrac{1^{\text{er}}\text{ terme} +\text{dernier terme}}{2}\\ & = 20\times\dfrac{u_1+(u_1+(20-1)\times4)}{2}\\ & = 20\times\dfrac{3+(3+19\times4)}{2}\\ & = 20\times\dfrac{82}{2}\\ & = 820. \end{align*} Le nombre total d'allumettes qu'il faut pour faire 20 étages correspond à la somme des 20 premiers termes de la suite $(u_n)_{n\geqslant1}$, donc il faut 780 allumettes.

Réponse à la question subsidiaire :

\begin{align*} u_1+u_2+\cdots+u_{n} & = 1600\\ n\cdot\dfrac{3+4n-1}{2}& = 1600\\ n\cdot\dfrac{4n+2}{2}& = 1600\\ n\cdot\left(2n+1\right) & = 1600\\ 2n^2+n-1600 & = 0 \iff \begin{cases} n_1 = \dfrac{-1-\sqrt{12801}}{4} \simeq -28,53537 < 0 \text{ (à rejeter)}\\ n_2 = \dfrac{-1+\sqrt{12801}}{4} \simeq 28,03537 \end{cases} \end{align*}

On réalise donc une pyramide de 28 étages complets composée de $28\cdot\left(2\cdot28+1\right) = 1596 $ allumettes. Il reste donc $1600-1596=4$ allumettes inutilisées.

1. Rangée 1 : \( u_1=2 \); Rangée 2 : \( u_2=5 \); Rangée 3 : \( u_3=8 \) Suite arithmétique de premier terme \( u_1 = 2 \) et de raison \( r=3 \) \[ u_n=2+\left({n-1}\right)\cdot 3 = 3n-1 \] Nombre d'allumettes dans la rangée 20 : \( \boxed{u_{20}=59} \)

2. Soit \( S_n \) le nombre d'allumettes nécessaires à la construction d'une pyramide ayant \( n \) rangées. \[ S_n=\sum_{k=1}^{n} u_n = n\cdot\frac{u_1+u_n}{2} \] Pour répondre à la question, il suffit de calculer \( S_{20} \) : \[ S_{20} = 10\cdot\left({2+59}\right) = \boxed{610} \]

3. Soit à résoudre l'équation \[ n\cdot\frac{u_1+u_n}{2} = 259 \iff n\cdot \left({2+3n-1}\right)=518 \iff 3n^2+n-518=0 \] Calcul du discriminant : \[ \rho = 1^2-4\cdot 3\left(-518\right)=6217 \] \[ n_1=\frac{-1+\sqrt{6217}}{6}\simeq 12,975, n_2=\frac{-1-\sqrt{6217}}{6}\simeq-13,308 \] On pourra construire une pyramide de 12 rangées et il restera \( 259 - S_{12}=259-222=37 \) allumettes.

1. \( l_1 = \frac{\pi \cdot a}{2} \) et \( r = \frac{\pi \cdot a}{2} \)
2. \( l_i = \frac{\pi \cdot a}{2} \cdot i \)
3. \( S_{17} = 17 \cdot \frac{\frac{\pi \cdot a}{2} + \frac{\pi \cdot a}{2} \cdot 17}{2} = \frac{153 \cdot \pi \cdot a}{2} \)