Exercices sur les suites arithmétiques

Exercice 1

Parmi les suites suivantes, déterminer lesquelles sont arithmétiques (justifier); le cas échéant, préciser le premier terme $u_1$ et la raison $r$ :

a) $u_n=25-6n$ pour $n\in\mathbb{N}_0$

Solution

Solution : $\begin{aligned}[t]u_{n+1}-u_{n} &= \left( 25-6\left( n+1 \right) \right)-\left( 25-6 \right)\\ &= -6\end{aligned}$
$-6$ est une constante. $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r=-6$ et de premier terme $u_1 = 25-6=19$.

b) $u_n=n^2-3$ pour $n\in\mathbb{N}_0$

Solution

Solution : $u_{n+1}-u_{n} = (n+1)^2-3 - \left( n^2-3 \right) = 2n+1$ n'est pas une quantité constante (elle varie en fonction du rang $n$). $(u_n)$ n'est donc pas une suite arithmétique. Il n'y a pas de sens à calculer une quelconque raison.

c) $u_n=\frac{2+n}{5}$ pour $n\in\mathbb{N}_0$

Solution

Solution : $u_{n+1}-u_{n} =\frac{3+n}{5}-\frac{2+n}{5} = \frac{3+n-2-n}{5} = \frac15$ est une constante. $(u_n)$ est bien une suite arithmétique de raison $r=\frac25$ et de premier terme $u_1 = \frac35$

d) $u_n=n^2-(n+3)^2$ pour $n\in\mathbb{N}_0$

Solution

Solution : remarque : $u_n=n^2-(n+3)^2=-6n-9$
$u_{n+1}-u_{n} = \ldots = -6$ est une constante. $(u_n)$ est bien une suite arithmétique et $r=-6$ est la raison de celle-ci. $u_1 = -15$

e) $\left\{ \begin{array}{l} u_1=-7\\ u_{n+1}=9+u_n\text{ pour }n\geqslant 1 \end{array} \right.$

Solution

Solution : Immédiat, il suffit de permuter $9$ et $u_n$ dans la relation de récurrence donnée dans l'énoncé pour retrouver la définition par récurrence d'une suite arithmétique. La raison vaut $r=9$ et son premier terme est $u_1=-7$

f) $\left\{ \begin{array}{l} u_1=15\\ u_{n+1}=3-u_n\text{ pour }n\geqslant 1 \end{array} \right.$

Solution

Solution : Cette suite n'est pas une suite arithmétique. Il suffit de calculer plusieurs termes pour s'en assurer. Ici, trois termes suffisent pour s'en rendre compte : $u_1=15$ ; $u_2 = 3-15=-12$ et $u_3=3-(-12) = 15$ $$u_2-u_1 = -27 \neq u_3-u_2 = 27$$
On pouvait aussi déterminer la différence de termes consécutifs : $$u_{n+1}-u_n=\left(3-u_n\right)-u_n \iff u_{n+1}-u_n=3-2u_n$$
$3-2u_n$ varie en fonction de $u_n$, la suite n'est pas arithmétique.

Exercice 2

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_1=-7$. Ecrire la définition par récurrence de cette suite. Calculer $u_2$, $u_3$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{10}$ et $u_{99}$.

Solution

$\left\{ \begin{array}{l} u_1=-7\\ u_{n+1}=u_n+2 \text{ pour }n\geqslant 1 \end{array} \right.$

$u_2 = -5$, $u_3=-3$, on exprime $u_n$ en fonction de $n$ par la formule $u_n = 2n-9$

dès lors, $u_{10} = 20-9=11$ et $u_{99} = 2\cdot 99 -9=189$

Exercice 3

La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ est arithmétique de raison $2$. On sait que $u_{50}=100$. Détermine son premier terme $u_1$. Montre la ou les formules utilisées.

Solution

$u_{50} = u_1 + 49\cdot r \iff 100=u_1 + 49\cdot 2 \iff u_1 = 100-2\cdot49 = 2$

Exercice 4

A quelle condition une suite arithmétique sera-t-elle croissante ?

Solution

Quand sa raison est positive.

Exercice 5

$(\textbf{u}_{n})_{n\geq 1}$ est la suite arithmétique telle que

a) $\textbf{u}_{1}=-2$ et $r=3$. Déterminer $\textbf{u}_{2004}$.

Solution

$\textbf{u}_{2004} = u_1 + 2003 \cdot r = -2+2003.3 = 6007$

b) $\textbf{u}_{12}=8$ et $r=-4$. Peut-on déterminer $\textbf{u}_{5}$, $\textbf{u}_{42}$?

Solution

$\textbf{u}_{5}=36$, $\textbf{u}_{42}=-112$

c)$\textbf{u}_{12}=25$ et $\textbf{u}_{41}=47$. Déterminer la raison.

Solution

$r=\dfrac{\textbf{u}_{41}-\textbf{u}_{12}}{41-12}=\dfrac{22}{29}$

Exercice 6

Soit $(\textbf{u}_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ une suite arithmétique de raison $r=\frac{2}{5}$ et telle que $u_8=0$. Calculer $u_1$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{12}$ et $u_{999}$.

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Solution : $u_8=u_1+7\cdot r \iff 0=u_1+7\cdot \frac25 \iff u_1=-\frac{14}{5}$ $$u_n = -\frac{14}{5} + \left( n-1 \right)\frac25 \, \textrm{ ou mieux } \, \boxed{u_n = \frac{2n-16}{5}}$$ $u_{12} = \dfrac85$ et $u_{999} = \dfrac{1982}{5}$

Exercice 7

Soit $(\textbf{u}_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ une suite arithmétique telle que $u_1=-10$ et $u_5=0$. Calculer la raison de cette suite. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{25}$ et $u_{2005}$.

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Solution : $r=\dfrac{u_5-u_1}{5-1} \implies r = \dfrac52$

$$u_n = -10+\left( n-1 \right)\dfrac52$$ ou mieux $$u_n = \dfrac{5n-25}{2}$$

on trouve $u_{25}=50$ et $u_{2005}=5000$

Exercice 8

Voici la formule explicite d'une suite numérique $(\textbf{u}_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ : $u_n = 1 - 3 n \qquad \left(n \in \mathbb{N}_0\right)$.

Cette suite est-elle arithmétique ? Si oui, prouve-le de façon générale.

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Solution : $(\textbf{u}_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ est une suite arithmétique car $$u_{n+1}-u_{n} = 1-3\left( n+1 \right)-\left( 1-3n \right)=-3$$

Exercice 9

Calculer le premier terme $u_1$ et la raison $r$ de la suite arithmétique $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}_0}$ vérifiant : $u_3+u_6=1$ et $u_8=0$

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Solution : on sait que $u_3=u_1+2r$ et $u_6=u_1+5r$ $$u_3+u_6=1 \iff u_1+2r+u_1+5r=1 \iff 2u_1+7r=1$$

de même, $u_8=0 \iff u_1+7r=0 \iff u_1=-7r$

en injectant ce résultat dans l'équation $2u_1+7r=1$, on obtient $r=-1/7$ et $u_1 = 1$

Exercice 10

Dans une ville, le nombre de nouveaux malades le jour du pic d'une épidémie est 2200. Ensuite le nombre de nouveaux cas diminue de 300 cas par jour. Le nombre de nouveaux cas quotidiens peut être modélisé par une suite arithmétique. Préciser son premier terme et sa raison.

Solution

Immédiat : premier terme : $u_0=2200$ et la raison $r=-300$

Exercice 11

``ça déchire grave!'' Quand Thomas récupère la copie de son devoir de mathématiques, il la déchire aussitôt en quatre morceaux ! Puis il prend un des morceaux obtenus et le déchire à nouveau en quatre. Il continue de cette façon jusqu'à ce qu'il soit calmé…

Il note $ M_n $ le nombre de morceaux obtenus à l'étape $ n $ et il pose $ M_0=1 $.

Faire un schéma illustrant les étapes 0, 1, 2 et 3.
Montrer que la suite $ M_n $ est une suite arithmétique; préciser sa raison et son terme général.
Combien faut-il d'étapes pour réduire ce devoir en au moins mille morceaux?

Solution

1)

2) à chaque étape, un morceau est fractionné en quatre parties identiques dont une est conservée pour le fractionnement suivant; à chaque étape, on ajoute donc trois morceaux à la figure précédente. Les quatre premiers termes de la suite $\left(M_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ illustrent bien ce qui précède. La suite $\left(M_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est bien une suite arithmétique de premier terme $M_0=1$ et de raison $r=3$. Son terme général est $M_n=1+3n$

3) Le nombre d'étapes permettant de réduire ce devoir en au moins mille morceaux se déduit de l'inéquation $M_n\geq 1000$ : $$1+3n \geq 1000 \iff n \geq 333$$ $333$ étapes sont nécessaires pour réduire ce devoir en au moins mille morceaux.

Exercice 12

Déterminer la somme des vingt premiers termes de la suite arithmétique 1,4,7,10,…

Solution

on pose $u_1=1$; la raison est visiblement $r=3$ $$\begin{aligned} \textrm{S} &= \sum_{k=1}^{20} u_k \\ &= \dfrac{u_1+u_{20}}{2}\cdot 20 \qquad \textbf{avec} \qquad u_{20}=u_1+19\cdot r = 1 + 19\cdot 3 = 58 \\ &= \dfrac{1+{58}}{2}\cdot 20 = 590 \end{aligned}$$

Exercice 13

Calculer la somme des termes

$5+7+9+\ldots+49$
$ 7 + 15 + 23 + \ldots + 1207 $
$200+201+202+\ldots+299$
$550+540+530+\ldots+100$

Solution

Il faut d'abord vérifier que les termes de cette suite sont ceux d'une suite arithmétique puis calculer le nombre de termes dans cette somme.

On note $u_1$ le premier terme !

Les termes de la somme sont ceux d'une suite arithmétique de premier terme $5$ et de raison $2$ : $u_n=5+2\left(n-1\right) = 2n+3$ et $u_n=49 \iff 2n+3=49 \iff n=23$
La somme contient donc $23$ termes et $$5+7+9+\ldots+49 = \dfrac{u_1+u_{23}}{2}\cdot 23 = \dfrac{5+49}{2}\cdot 23 = 621$$
$u_n=7+8\left(n-1\right) = 8n-1$ et $u_n=1207 \iff 8n-1=1207 \iff n=151$ $$ 7 + 15 + 23 + \ldots + 1207 = \dfrac{7+1207}{2}\cdot 151 = 91657$$
$200+201+202+\ldots+299=24950$
$550+540+530+\ldots+100 = 14950$

Exercice 14

On construit une pyramide en allumettes comme sur le schéma suivant :

On note $u_n$ le nombre d'allumettes nécessaires pour le $n$-ième étage de cette pyramide, $n\geqslant1$. Combien faut-il d'allumettes pour faire 20 étages ?

Question subsidiaire : Combien peut-on faire d'étages avec 1600 allumettes? Reste-il des allumettes ? Si oui combien.

Solution

On constate que $u_n=u_{n-1}+4$, donc $(u_n)_{n\geqslant1}$ est une suite arithmétique de raison $r=4$.

Ainsi, la somme des 20 premiers termes est : \begin{align*} u_1+u_2+\cdots+u_{20} & = (\text{nombre de termes dans la somme}) \times \dfrac{1^{\text{er}}\text{ terme} +\text{dernier terme}}{2}\\ & = 20\times\dfrac{u_1+(u_1+(20-1)\times4)}{2}\\ & = 20\times\dfrac{3+(3+19\times4)}{2}\\ & = 20\times\dfrac{82}{2}\\ & = 820. \end{align*} Le nombre total d'allumettes qu'il faut pour faire 20 étages correspond à la somme des 20 premiers termes de la suite $(u_n)_{n\geqslant1}$, donc il faut 780 allumettes.

Réponse à la question subsidiaire :

\begin{align*} u_1+u_2+\cdots+u_{n} & = 1600\\ n\cdot\dfrac{3+4n-1}{2}& = 1600\\ n\cdot\dfrac{4n+2}{2}& = 1600\\ n\cdot\left(2n+1\right) & = 1600\\ 2n^2+n-1600 & = 0 \iff \begin{cases} n_1 = \dfrac{-1-\sqrt{12801}}{4} \simeq -28,53537 < 0 \text{ (à rejeter)}\\ n_2 = \dfrac{-1+\sqrt{12801}}{4} \simeq 28,03537 \end{cases} \end{align*}

On réalise donc une pyramide de 28 étages complets composée de $28\cdot\left(2\cdot28+1\right) = 1596 $ allumettes. Il reste donc $1600-1596=4$ allumettes inutilisées.

Exercice 15

On dispose des allumettes suivant la manière suivante:

Observe bien les trois premières rangées puis recherche le nombre d'allumettes dans la rangée 20.
Combien d'allumettes contient une pyramide ayant 20 rangées ?
Tu veux construire une pyramide avec 259 allumettes. Combien de rangées cette pyramide comptera-t-elle ? Combien d'allumettes restera-t-il éventuellement ?

Solution

Rangée 1 : $ u_1=2 $; Rangée 2 : $ u_2=5 $; Rangée 3 : $ u_3=8 $ Suite arithmétique de premier terme $ u_1 = 2 $ et de raison $ r=3 $ \[ u_n=2+\left({n-1}\right)\cdot 3 = 3n-1 \] Nombre d'allumettes dans la rangée 20 : $ \boxed{u_{20}=59} $
Soit $ S_n $ le nombre d'allumettes nécessaires à la construction d'une pyramide ayant $ n $ rangées. \[ S_n=\sum_{k=1}^{n} u_n = n\cdot\frac{u_1+u_n}{2} \] Pour répondre à la question, il suffit de calculer $ S_{20} $ : \[ S_{20} = 10\cdot\left({2+59}\right) = \boxed{610} \]
Soit à résoudre l'équation \[ n\cdot\frac{u_1+u_n}{2} = 259 \iff n\cdot \left({2+3n-1}\right)=518 \iff 3n^2+n-518=0 \] Calcul du discriminant : \[ \rho = 1^2-4\cdot 3\left(-518\right)=6217 \] \[ n_1=\frac{-1+\sqrt{6217}}{6}\simeq 12,975, n_2=\frac{-1-\sqrt{6217}}{6}\simeq-13,308 \] On pourra construire une pyramide de 12 rangées et il restera $ 259 - S_{12}=259-222=37 $ allumettes.

Exercice 16

A B C D est un carré de côté a.

D E est un quart de cercle centré en A et comprenant D;
E F est un quart de cercle centré en B et comprenant E;

et ainsi de suite.

On note $ l_i $ la longueur du $ i $ème quart de cercle.

Montrer que $ (l_i)_{i \in \mathbb{N}_0} $ est une suite arithmétique en précisant son premier terme ainsi que sa raison.
Exprimer $ l_i $ en fonction de i.
Calculer $ S_{17} $, la longueur de cette spirale à quatre centres limitée à 17 quarts de tours.

Solution

$ l_1 = \frac{\pi \cdot a}{2} $ et $ r = \frac{\pi \cdot a}{2} $
$ l_i = \frac{\pi \cdot a}{2} \cdot i $
$ S_{17} = 17 \cdot \frac{\frac{\pi \cdot a}{2} + \frac{\pi \cdot a}{2} \cdot 17}{2} = \frac{153 \cdot \pi \cdot a}{2} $