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Prouvons que $$\sum_{i=1}^n u_i=u_1+\ldots+u_n=\frac{(u_1+u_n)n}{2}$$ en écrivant la somme des n premiers termes à partir du premier puis une deuxième fois mais à partir du dernier:

$$\begin{array}{rclcl} S & = & \mathbf{u}_1 + \cdots + & \mathbf{u}_i & + \cdots + \mathbf{u}_n \\ S & = & \mathbf{u}_n + \cdots + & \mathbf{u}_{n-i+1} & + \cdots + \mathbf{u}_1 \end{array} $$

Puis, procédons à la somme des deux lignes ci-dessus membre à membre sachant que $\forall i \in \left\{ 2,...,n-1 \right\}$

$$ \begin{array}{rcl} \mathbf{u}_i + \mathbf{u}_{n-i+1} & = & \mathbf{u}_1 + (i-1)r + \mathbf{u}_n - (i-1)r \\ & = & \mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_n \end{array} $$

Nous obtenons,

\begin{eqnarray*} 2S & = & \overbrace{(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_n) + (\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_{n}) + ... + (\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_n)}^{n{\rm\ termes } \ (u_1+u_n)} \\ & = & n \left(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_n\right) \end{eqnarray*}

Dès lors: $\displaystyle S=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{u}_i = \frac{n(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_n)}{2}$