1. $u_1=2$, $u_2=4$, $u_3=8$, $u_4=16$
2. cette suite est une suite géométrique de premier terme $u_1=2$ et de raison $q=2$
3. $u_n=2 \cdot 2^{n-1}$ ou encore $u_n=2^n$
4. $\sum_{i=1}^{n} \; u_i \; = \; u_1 \frac{1-q^n}{1-q} \implies \sum_{i=1}^{n} \; u_i = 2 \cdot \frac{1-2^n}{1-2} = 2 \cdot \left( 2^n-1 \right)$

définition par récurrence : $(v_n) : \left\{ \begin{array}{l} v_1=3 \\ v_{n+1}=1,2 \times v_n \end{array}\right. $

$v_2=3,6$, $v_3=4,32$ et $v_4=5,184$

formule explicite : $v_n=3\cdot 1,2^{n-1}$ avec $n\in\mathbb{N}_0$

$v_{16} = 3\cdot 1,2^{15}$ et $v_{100}=3\cdot 1,2^{99}$

$v_4=v_1\cdot q^3 \iff 48 = v_1 \cdot 8 \iff v_1=6$

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ $\longleftrightarrow$ formule explicite : $v_n=6\cdot 2^{n-1}$ avec $n \geq 1$

$v_6 = 6\cdot 2^5 = 192$ et $v_{12} = 6\cdot 2^{11} = 12288$

$v_3=v_1\cdot q^2 \iff 1{,}25 = -10 \cdot q^2 \iff q^2 = -0{,}125$

Étant donné que \(q^2\) représente un carré parfait, il est intrinsèquement non négatif. Par conséquent, aucune solution pour $q$ n'est possible.

$v_{23} = v_{20} \cdot q^{23-20} \iff 5625 = 45 \cdot q^3 \iff q^3=125 \iff q=5$

$v_{20} = v_{1} \cdot q^{19} \iff 45 = v_{1} \cdot 5^{19}\iff v_{1} = \frac{5\cdot 9}{5^{19}}=\frac{9}{5^{18}} $

définition par récurrence : $(v_n) : \left\{ \begin{array}{l} v_1=\frac{9}{5^{18}} \\ v_{n+1}=5 \times v_n \end{array}\right. $

formule explicite : $v_n=\frac{9}{5^{18}}\cdot 5^{n-1}$ avec $n \geq 1$ ou mieux $v_n=9\cdot 5^{n-19}$

$v_{17} = 9\cdot 5^{17-19} = \frac{9}{25}$ et $v_{27} = 9\cdot 5^{27-19}=3\ 515\ 625$

formule explicite : $v_n=2500\cdot 1{,}04^{n-1}$ avec $n \geq 1$

$$\begin{aligned} v_n\geqslant5000 &\iff 2500\cdot 1{,}04^{n-1} \geqslant 5000 \\ &\iff 1{,}04^{n-1} \geqslant 2 \end{aligned}$$

Il est essentiel d'essayer plusieurs valeurs, et un tableau s'avère très pratique pour déterminer le rang à partir duquel la condition est vérifiée

\[ \begin{array}{c|cccc} n & 9 & 15 & 18 & 19 \\ \hline 1{,}04^{n-1} & \approx 1,369 & \approx 1,732 & \approx 1,948 & \approx 2,026 \end{array} \]

$n=19$ est le plus petit rang qui vérifie $v_n\geqslant5000$.

1. $v_1=-\frac{1}{3}v_0=-3$, $v_2=-\frac{1}{3}v_1=1$, $v_3=-\frac{1}{3}$, $v_4=\frac{1}{9}$
2. la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=9$ et de raison $-\frac{1}{3}$ car chaque terme est déterminé à partir du précédent multiplié par $-\frac{1}{3}$
3. $v_n=v_0 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) ^n = 3^2 \cdot \frac{\left(-1\right)^n}{3^n}=\frac{\left(-1\right)^n}{3^{n-2}}$
4. $S = \sum_{i=0}^{117} u_i$

\begin{eqnarray*} S&=&\text{premier terme} \times \frac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}\\ &=&u_0 \frac{1-q^{118}}{1-q}\\ &=&9 \cdot \frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{118}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ &=& \frac{27}{4} \cdot \left(\frac{3^{118}-1}{3^{118}}\right)\\ %&=& \frac{3^{118}-1}{4 \cdot 3^{115}} \\ %k &=& \frac{\log \left( 384 \right) + 10}{\log 2} \\ & \approx & \frac{27}{4} = 6{,}75 \end{eqnarray*}

1. $w_2=-2$, $w_3=4$ et $w_4=-8$
2. $w_{20} = 1\cdot (-2)^{19} = \mathbf{-524\ 288}$
3. $S=w_1+w_2+\ldots+w_{20} = w_1 \dfrac{1-q^{20}}{1-q} = \dfrac{1-(-2)^{20}}{1-(-2)}= \mathbf{-349525}$

1. $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $-3$
2. $v_0 = 2$
3. $S_{10} = \mathbf{88574}$

1. \(u_1=\frac{2}{10}\), \(u_2=\frac{4}{10}\), \(u_3=\frac{8}{10}\)
2. cette suite est une suite géométrique de premier terme \(u_0=\frac{1}{10}\) et de raison \(q=2\)
3. le \(n^{\text{ième}}\) pliage correspond au terme \(u_n\); par conséquent, le \(30^{\text{ième}}\) pliage est donné par: \(u_{30}=u_0 \times q^{30}=\frac{1}{10} \times 2^{30}=\frac{2^{30}}{10}\approx 107\ 374\ 182,4\) mm ou environ \(107,4\) km
4. remarque : la distance Terre-Lune est de \(384 \times 10^9\) mm. Il nous faut calculer le nombre \(k\) de pliages de telle sorte que \(u_k = 384 \times 10^9\). On a : \(u_k= 384 \times 10^9\iff \frac{1}{10} \times 2^{k}= 384 \times 10^9\iff 2^k=384 \times 10^{10}\) En procédant par essais successifs, on obtient pour \(k\) un nombre situé entre 41 et 42. Pour obtenir cette distance, on choisira \(k=42\).
   Note : $k=\frac{\log \left(384 \times 10^{10}\right)}{\log 2} \approx 41,8$

1. \(u_1 = u_0 + \frac{5}{100}u_0 = 10500\),
   \(u_2 = u_1 \left(1 + \frac{5}{100}\right) = 11025\),
   \(u_3 = u_2 \cdot 1,05 = 11576,25\),
   \(u_4 = u_3 \cdot 1,05 = 12155,0625\)
2. \(u_{n+1} = 1,05 \cdot u_n\)
3. La suite \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 10000\) et de raison \(q = 1,05\)
4. La somme disponible au bout de 10 ans est \(u_{10} = u_0 \cdot 1,05^{10} = 16288,94627\)
5. Il faut rechercher \(k\), le nombre d'années au bout desquelles on obtiendra au moins 20000 euros. Cela revient à résoudre \(u_k = 20000\).

\begin{align*} 10000 \cdot (1,05)^k &= 20000\\ (1,05)^k &= 2\\ \textrm{pour } k = 14 : (1,05)^{14} &\approx 1,98\\ \textrm{pour } k = 15 : (1,05)^{15} &\approx 2,079 \end{align*} On obtiendra donc plus de 20000 euros au bout de 15 ans

1. $r_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot r_n$
2. évident, $\left(r_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac12$ et de premier terme $r_1=8$
3. $r_n=r_1 \cdot q^{n-1}=2^{4-n}$
4. la longueur d'un demi-cercle de rayon $r$ vaut $\pi.r$.
   dès lors la longueur de la spirale est:
   \[L=\sum\limits_{i=k}^{6} \pi.r_k = \pi \sum_{i=k}^{6} r_k = \pi \cdot 8 \frac{1-(1/2)^6}{1-1/2} = \frac{63}{4} \pi\]

Soit $c_n$ le capital d'un client la $(n+1)$\ieme~année placé avec un taux de 3 \% par an avec intérêts composés.

1. Nature de la suite $(c_n)$
   Chaque année, les intérêts sont calculés sur la capital de l'année précédentes. Donc le capital $c_{n+1}$ la $(n+2)$\ieme~année de déduit du capital de l'année précédente par une augmentation de $3 \%$ : \begin{equation*} c_{n+1} = \left(1+\frac{3}{100}\right)\cdot c_n = \left(\frac{103}{100}\right)\cdot c_n \end{equation*} Donc pour tout $n \in \mathbb{N}$ : ${c_{n+1} = {1,03}\cdot c_n}$
   D'où $(c_n)$ est une suite géométrique de raison ${1,03}$.}
2. Valeur $c_0$ du placement initial
   Comme $(c_n)$ est géométrique de raison $q = {1,03}$, son terme général $c_n$ est donné par la relation : \begin{equation*} c_n = c_0\cdot q^n = c_0\cdot ({1,03})^n \end{equation*}
   Comme le capital $c_5$ au bout de 5 ans est de 1680 €, il vient pour $n = 5$ :
   \[ c_5 = c_0\cdot (1,03)^5 \iff 1680 = c_0\cdot (1,03)^5 \]
   Donc : $c_0 = 1449$
3. Capital au bout de 20 ans
   Puisque $c_n = c_0\cdot q^n = 1449\cdot (1,03)^n$, il vient en posant $n = 20$ : \begin{equation*} c_{20} = 1449\cdot (1,03)^{20} \approx 2617 \end{equation*} Donc le capital au bout de 20 ans est d'environ 2617 €.

Remarque : La valeur de $c_0$ étant une valeur approchée, il aurait été plus judicieux de calculer $c_{20}$ à partir de la valeur exacte $c_5$ avec la formule : $c_n = c_k\cdot q^{n-k}$.

1. $P_{0} = 1013$, $P_{1} = 1013-\frac{1,25}{100}\cdot 1013 = 1000$, $P_{2} = 1000-\frac{1,25}{100}\cdot 1000 = 988$
2. $P_{n+1} = P_n - \frac{1,25}{100}\cdot P_n = \left(1-\frac{1,25}{100}\right)\cdot P_n = 0,9875 \cdot P_n$
   $(P_n)$ est une suite géométrique de premier terme $P_{0} = 1013$ et de raison $q=0,9875$.
3. $P_{n} = P_0 \cdot q^{n} = 1013\cdot 0,9875^{n}$
4. $P_{32} = 1013\cdot 0,9875^{32} = 677$
5. $P_n<600 \iff 1013\cdot 0,9875^{n}<600 \iff 0,9875^{n}<0,5923$

La pression atmosphérique devient inférieur à partir de 4200 mètres.

Appelons $r_n$ le rayon du disque ajouté à l'étape $n$ et $a_n$ l'aire du disque de rayon $r_n$.

Alors, $r_{n+1}=\dfrac{1}{2}r_n$. Donc $(r_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

L'aire du disque ajouté à l'étape $n$ est $$a_n=\pi \times (r_n)^2=\pi \left(\dfrac{5}{2^{n-1}}\right)^2 = 100\pi \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$$ La suite $(a_n)$ est géométrique de raison 1/4. Une autre manière de le prouver est de calculer le quotient suivant :

$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\pi\times \left({r_{n+1}}\right)^2}{\pi \times \left({r_n}\right)^2}=\left({\dfrac{r_{n+1}}{r_n}}\right)^2=q^2=\frac{1}{4}$$ donc $(a_n)$ est aussi une suite géométrique de raison $q$.

L'aire totale des disques (en cm$^2$) à l'étape 10 est donc : \begin{align*} a_1+a_2+\cdots+a_{10} & = \text{premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\ & = 25\pi\times\dfrac{1-\frac{1}{4^{10}}}{1-\frac{1}{4}}\\& = \frac{100}{3}\pi\times\left(1-\dfrac{1}{4^{10}}\right)\\ & = \frac{100}{3} \pi\left(1-\dfrac{1}{1048576}\right)\\ & = \frac{100}{3} \pi\times\dfrac{1048575}{1048576}\\ %& = \frac{2^2\cdot 5^2}{3} \pi\times\dfrac{3\cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 41}{2^{20}}\\ %& = \dfrac{25575\pi}{512}\\ & \approx 104,72. \end{align*}

L'aire totale est donc environ égale à 104,72 cm$^2$.

Soit \(t_0 = 100 ^{\circ}\) et \(t_n\) la température de la vapeur après avoir parcouru \(n\) mètres de tuyau.

Par exemple : \[ \begin{aligned} t_1 &= t_0-\frac{1}{100}\cdot t_0 = 100-\frac{1}{100}\cdot 100 = 99^{\circ} \\ t_2 &= t_1-\frac{1}{100}\cdot t_1 = \left(1-\frac{1}{100}\right)\cdot t_1 = 0,99\cdot t_1 = 98,01^{\circ} \\ t_3 &= 0,99\cdot t_2=97,0299^{\circ} \end{aligned} \]

On reconnait aisément la définition d'une suite géométrique de premier terme \(t_0 = 100\) et de raison \(q=0,99\). D'où : \(t_n = t_0 \cdot q^n = 100\cdot 0,99^n\)

Demander que la température de la vapeur ne perde pas plus de \(40^{\circ}\) correspond à dire que sa température doit rester toujours au-dessus de \(60^{\circ}\). Cela induit automatiquement le critère suivant : \[t_n>60^{\circ} \iff 100\cdot 0,99^n>60 \iff 0,99^n>0,6 \]

Dès lors, \[ \begin{aligned} 0,99^n=0,6 &\iff \log\left(0,99^n\right)=\log\left(0,6\right)\\ &\iff n\cdot\log\left(0,99\right)=\log\left(0,6\right)\\ &\iff n = \frac{\log\left(0,6\right)}{\log\left(0,99\right)}\\ &\iff n = 50,82672173 \end{aligned} \]

Il suffit de comparer \(0,99^{50} \approx 0,605006067 > 0,6\) et \(0,99^{51} \approx 0,598956006 < 0,6\) pour terminer l'exercice :

50 mètres est la longueur maximale de tuyaux que la vapeur peut parcourir pour que sa température ne perde pas plus de \(40^{\circ}\).

Soit $T_0=98^\circ$ la température initiale (température produite par la chaufferie) et $T_n$ la température après avoir parcouru $n$ mètres de tuyauterie.

Après 1 mètre de tuyau, la température est $T_1 = T_0 \cdot (1-\frac{2}{100}) = 98\cdot 0,98 = 96,04$

Après 2 mètres de tuyau, la température est $T_2 = T_1 \cdot (1-\frac{2}{100}) = 96,04 \cdot 0,98 \approx 94,12$

et ainsi de suite.

$T_n$ est donc une suite géométrique de premier terme $T_0=98$ et de raison $q=0,98$

Il suffit de calculer $T_{30} = T_0\cdot q^{30}$ $$ T_{30} = 98\cdot 0,98^{30} \approx 53,5^\circ$$

On sait que $T_{n} = 98\cdot 0,98^{n}$ et on doit respecter la condition $T_n=\frac12\cdot 98 = 49$

$$ 49 = 98\cdot 0,98^{n} \iff 0,5 = 0,98^n \iff n=\dfrac{\log 0,5}{\log 0,98}\approx 34,31$$

Comme la température doit diminuer de 49 degrés, au moins, la distance parcourue par la vapeur doit être de 35 mètres.

$T_{n-10} = T_n \cdot 0,98^{n-10-n} \implies T_{n-10} = 51\cdot 0,98^{-10} \approx 62,42^\circ$

Chaque année, la prime est multipliée par $1,02$ : $q=1+\dfrac{2}{100}=1,02$

$u_2=500 \times 1,02=510$

$u3=510 \times 1,02=520,20$

$u_{n+1} = 1,02\times u_n$

$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,02$.

$u_{20}=u_1 \times 1,02^{19}\approx 728,41$

La prime qu'il touchera la 20ème année est de $728,41$ \euro

Il y a 20 termes dans cette somme : $$\begin{aligned} S= u_1 \times \dfrac{1-q^{20}}{1-q} &= 500 \times \dfrac{1-1,02^{20}}{1-1,02}\\ &=\dfrac{500}{0,02}\left( 1,02^{20}-1 \right)\\ &=25\,000 \left( 1,02^{20}-1 \right)\approx 12\,148,68 \end{aligned}$$

Il aura touché environ $12\,148,68$ \euro.

a) Pour démontrer qu'une suite \( (w_n) \) est géométrique, il est nécessaire de vérifier si le rapport entre chaque terme \( w_{n+1} \) et son prédécesseur \( w_n \) reste constant, et ce, pour tous les termes de la suite. : \[\begin{aligned} \frac{w_{n+1}}{w_{n}} &= \frac{u_{n+1}-3}{u_n-3}\\ &= \frac{2u_{n}-3-3}{u_n-3}\\ &= \frac{2\left(u_{n}-3\right)}{u_n-3}\\ &= 2\\ \end{aligned}\] on vient donc de prouver que \( (w_n) \) est une suite géométrique de raison $q=2$

b) puisque \( w_n=u_n-3 \), on a $u_n = w_n+3 =2^n+3$

c) $2^n \geq 97 \iff \log \left(2^n\right) \geq \log \left(97\right) \iff n\geq \frac{\log 97}{\log 2}\iff n\geq 7$

(a) La somme des \(n\) premiers termes \(S_n\) d'une suite géométrique est donnée par la formule: \[ S_n = v_1 \frac{1-q^n }{1-q} \]

(b) \(v_1=\frac12\) et \(q=-\frac12\)

\( v_n = \frac12 \left(-\frac12\right)^{n-1} = -\left(-\frac12\right)^{n}\)

\(\displaystyle S = -\sum_{k=1}^{13}\left({-}\frac{1}{2}\right)^{k}= \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{14}}}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2^{13}+1}{2^{13}\times 3} = \frac{2731}{8192}\)