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Pour tout entier naturel $n$ :

\begin{align*} v_{n + 1} - v_n &= \left( n + 1 \right)^2 - 8\left( n + 1 \right) + 18 - \left( n^2 - 8n + 18 \right)\\ &= n^2 + 2n + 1 - 8n - 8 + 18 - n^2 + 8n - 18\\ &= 2n - 7. \end{align*}

\[ \begin{array}{c|c|c|c} n & & \frac{7}{2} & \\ \hline 2n-7 & - & 0 & + \end{array} \]

On a $2n - 7 \ge 0$ pour $n \ge 3,5$. Donc, pour tout entier naturel $n \ge 4$ : ${v_{n + 1}} - {v_n} \ge 0$, c'est-à-dire ${v_{n + 1}} \ge {v_n}$.

La suite n'est pas monotone, cependant elle est croissante à partir du terme d'indice 4.

Pour tout entier naturel $n$ positif, les termes de la suite sont strictement positifs. \[ \dfrac{w_{n + 1}}{w_n} = \dfrac{3^n}{3^{n+1}} = \dfrac{1}{3} < 1 \]

Donc pour tout entier naturel $n$, ${w_{n + 1}} \le {w_n}$. La suite $\left( w_n \right)$ est donc décroissante.

Dans notre cas,

1. ${\textbf{u}_0} = - 1$ ; ${\textbf{u}_1} = 0$ ; ${\textbf{u}_2} = 3$ mais ${\textbf{u}_3} = 0$ $${\textbf{u}_0} < {\textbf{u}_1} < {\textbf{u}_2} > {\textbf{u}_3} \implies \left( u_n \right) \; \textrm{n'est pas monotone}$$
2. ${\textbf{u}_0} = 1$ ; ${\textbf{u}_1} = 0$ ; ${\textbf{u}_2} = 1$ $${\textbf{u}_0} > {\textbf{u}_1} < {\textbf{u}_2} \implies \left( u_n \right) \; \textrm{n'est pas monotone}$$
3. ${\textbf{u}_0} = 1$ ; ${\textbf{u}_1} = - \dfrac{1}{2}$ ; ${\textbf{u}_2} = \dfrac{1}{4}$ $${\textbf{u}_0} > {\textbf{u}_1} < {\textbf{u}_2} \implies \left( u_n \right) \; \textrm{n'est pas monotone}$$

1) \(\forall n \in \mathbb{N}_0 ~:~ u_{n}=-3 n+1 \quad\) \[u_{n+1}-u_{n}=\left(-3\left( n+1 \right)+1\right)-\left(-3 n+1\right) = -3 <0 \quad \left( \forall n\in \mathbb{N}_0 \right)\] $\rightsquigarrow$ la suite est décroissante à partir du rang $n=1$ (et donc monotone).

2) \(\forall n \in \mathbb{N} ~:~u_{n}=(n-5)^{2}\) \[u_{n+1}-u_{n}= (n-4)^{2}-(n-5)^{2} =2n-9\]

\begin{align*} \begin{array}{|c||c|c|c|} \hline \rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} n & ~ & 4,5 & ~ \\ \hline \rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 2n-9 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} \implies \forall n\geq 5 : u_{n+1}-u_{n} > 0 \end{align*}

$\rightsquigarrow$ la suite est strictement croissante à partir du rang $n=5$.

3) \(\forall n \in \mathbb{N} ~:~ u_{n}=\frac{3 n-2}{n+1}\) \[u_{n+1}-u_{n}=\frac{3 \left( n+1 \right)-2}{\left( n+1 \right)+1}-\frac{3 n-2}{n+1}=\frac{5}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\] \begin{align*} \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline \rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} n & ~ & -2 & ~ & -1 & ~ & 0 & ~ \\ \hline \rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} u_{n+1}-u_{n} & + & \nexists & - & \nexists & + & + & + \\ \hline \end{array} \implies \forall n\geq 0 : u_{n+1}-u_{n} > 0 \end{align*}

$\rightsquigarrow$ la suite est strictement croissante à partir du rang $n=0$ (et donc monotone).

4) \(\forall n \in \mathbb{N}_0 ~:~u_{n}=\dfrac{2^{3 n}}{3^{2 n}}\)

$\forall n \in \mathbb{N}_0 ~:~u_{n} >0$ et $u_n$ est une quotient de deux puissances : on compare $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ à $1$ $$ \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{2^{3 n+3}}{3^{2 n+2}}\times \dfrac{3^{2 n}}{2^{3 n}} = \dfrac{2^{3 n+3}}{2^{3 n}}\times \dfrac{3^{2 n}}{3^{2 n+2}} = \dfrac{2^3}{3^2} = \frac89 < 1 $$ $\rightsquigarrow$ la suite est strictement décroissante à partir du rang $n=1$ (et donc monotone).

5) $\forall n \in \mathbb{N} ~:~{u_n} = \dfrac{{2{^{2n + 2}}}}{{{3^n}}}$

$$\forall n \in \mathbb{N} ~:~ \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac43 >1 $$

$\rightsquigarrow$ la suite est strictement croissante à partir du rang $n=0$ (et donc monotone).

6) \(u_{0}=2 \text { et } \forall n \in \mathbb{N} ~:~ u_{n+1}=u_{n}-n\)

on transforme la relation de récurrence dans l'énoncé : $u_{n+1}=u_{n}-n \iff u_{n+1}-u_{n}=-n$

conclusion : $\forall n \in \mathbb{N} ~:~ u_{n+1}-u_{n} < 0 $ puisque $-n<0 \quad \forall n\in\mathbb{N} $

la suite est strictement décroissante à partir du rang $n=0$

7) \(\forall n \in \mathbb{N}_0 ~:~ u_{n}=\frac{2^{n}}{n}\)

déjà réalisé

8) \(\begin{cases} {u_0} = 3\\ {u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{{n + 2}} \end{cases}\)

Note importante : tous les termes de la suite sont positifs (à démontrer par récurrence) ! c'est une condition nécessaire pour appliquer la seconde méthode.

on transforme la relation de récurrence dans l'énoncé : $${u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{{n + 2}} \iff \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{1}{n+2}$$

conclusion : $\forall n \in \mathbb{N} ~:~ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} <1 $ puisque $\dfrac{1}{n+2}<1 \quad \left( \forall n\in\mathbb{N} \right)$

la suite est par conséquent strictement décroissante à partir du rang $n=0$

remarque : \(n+2\) étant toujours positif, on a \[\dfrac{1}{n+2}<1 \iff 1<n+2 \iff n>-1\]