Source

1. Pour chaque suite définie ci-dessous, dont le premier terme est de rang 1, calculer les premiers termes à la main, conjecturer le sens de variations puis démontrer la conjecture en étudiant le signe de \( u_{n+1} - u_n \).
   1. \( (u_n) \) est la suite définie pour tout entier naturel \( n \) par \( \displaystyle{u_n = \frac{n}{3^n}} \).
   2. \( (u_n) \) est la suite définie pour tout entier naturel non nul \( n \) par \( \displaystyle{u_n = n + \frac{1}{n}} \).
2. Etudier les variations des suites :
   1. \( u_n = 5-\dfrac{n}{3} \)
   2. \( u_n = 2n^2 - 7n-2 \)
   3. \( u_n = \frac{1}{2n+1} \)
3. On admet que les suites ci-dessous ont tous leurs termes strictement positifs. En comparant le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$, étudier le sens de variations des suites.
   1. Pour tout entier $n$ avec $n\geqslant 1$, $u_n = \dfrac{3^n}{5n}$.
   2. Pour tout entier $n$ avec $n\geqslant 1$, $u_{n+1} = \dfrac{8u_{n}}{n}$ et $u_1 = 1$.
   3. Démontrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= n^2 - 10n$ est monotone (soit toujours croissante, soit toujours décroissante) à partir d'un certain rang (que l'on précisera). AIDE : calculer $u_{n+1}-u_n$
4. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 3$ et $u_0 = 1$.
   1. Calculer à la main $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
   2. Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
   3. Montrer que pour tout réel $x$, $x^2 -3x + 3 >0$.
   4. Démontrer votre conjecture.
5. On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
   1. A l'aide du graphique, représenter $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
   2. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de la suite $(u_n)$.
   3. Dans la suite de l'exercice, on admet que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 2$.
      1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\frac{-{u_n}^2+u_n+2}{\sqrt{2+u_n}+u_n}}$.
      2. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

exosvariationsuites.pdf

exosvariationsuites.rtf