- Pour chaque suite définie ci-dessous, dont le premier terme est de rang 1, calculer les premiers termes à la main, conjecturer le sens de variations puis démontrer la conjecture en étudiant le signe de \( u_{n+1} - u_n \).
- \( (u_n) \) est la suite définie pour tout entier naturel \( n \) par \( \displaystyle{u_n = \frac{n}{3^n}} \).
- \( (u_n) \) est la suite définie pour tout entier naturel non nul \( n \) par \( \displaystyle{u_n = n + \frac{1}{n}} \).
- Etudier les variations des suites :
- \( u_n = 5-\dfrac{n}{3} \)
- \( u_n = 2n^2 - 7n-2 \)
- \( u_n = \frac{1}{2n+1} \)
- On admet que les suites ci-dessous ont tous leurs termes strictement positifs. En comparant le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$, étudier le sens de variations des suites.
- Pour tout entier $n$ avec $n\geqslant 1$, $u_n = \dfrac{3^n}{5n}$.
- Pour tout entier $n$ avec $n\geqslant 1$, $u_{n+1} = \dfrac{8u_{n}}{n}$ et $u_1 = 1$.
- Démontrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= n^2 - 10n$ est monotone (soit toujours croissante, soit toujours décroissante) à partir d'un certain rang (que l'on précisera). AIDE : calculer $u_{n+1}-u_n$
- On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 3$ et $u_0 = 1$.
- Calculer à la main $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
- Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
- Montrer que pour tout réel $x$, $x^2 -3x + 3 >0$.
- Démontrer votre conjecture.
- On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
- A l'aide du graphique, représenter $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de la suite $(u_n)$.
- Dans la suite de l'exercice, on admet que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 2$.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\frac{-{u_n}^2+u_n+2}{\sqrt{2+u_n}+u_n}}$.
- En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
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