Table des matières
Nombre dérivé d'une fonction numérique
Sujet à révision
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\).
La fonction \(f\) est dite dérivable en \(a\) si, et seulement si, le taux de variation moyen de \(f\) au voisinage de \(a\), donné par \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\), tend vers une limite finie lorsque \(h\) tend vers 0.
Lorsque cette limite existe et est finie, elle représente le taux de variation instantané de \(f\) en \(a\). Ce taux est appelé le nombre dérivé de \(f\) au point \(a\). Il est symbolisé par \(f'(a)\) et donne la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point \(a\).
Interprétation graphique
Avec les notations du graphique ci-contre: 
Lorsque “$h\rightarrow 0$”, le point $M$ se rapproche de $A$.
\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{MP}{AP}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\] est le coefficient directeur de la droite $d_{AM}$.
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\[m=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} =f'(a)\] est le coefficient directeur de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse $a$.
Cette tangente a pour équation $y=f'(a)(x-a)+ f(a)$.
Fonctions dérivées - Notation différentielle
Définition
- Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ lorsqu'elle est dérivable en tout nombre réel $x$ de cet intervalle.
- On appelle fonction dérivée de la fonction $f$ la fonction notée $f'$ qui à tout nombre réel $x$ de l'intervale $I$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$.
Notation différentielle
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Si la fonction $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, la dérivée de $f'$ sera notée $f"$ ou $f^{(2)}$. On l'appelle dérivée seconde de $f$. Si la fonction $f''$ est à son tour dérivable sur $I$, la dérivée de $f''$ sera notée $f'''$ ou $f^{(3)}$. On l'appelle dérivée troisième de $f$ et ainsi de suite.
Avec la notation différentielle, lorsque la variable est $x$ on écrit alors : $$f' = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}f; \qquad f''= (f')'=\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)=\frac{d^2f}{dx^2}=\frac{d^2}{dx^2}f ; \qquad f^{(3)}=(f'')'= \frac{d}{dx}\left(\frac{d^2f}{dx^2}\right)= \frac{d^3f}{dx^3} \qquad \ldots $$
Interprétation physique
Leibniz a utilisé la notation différentielle pour déterminer la vitesse d'évolution d'un phénomène.
Considérons par exemple le mouvement d'un mobile se déplaçant sur une droite. À un instant $t$, le mobile se trouve à une abscisse $x$.
Si on considère une distance infiniment petite $dx$ correspondant à un temps infiniment petit $dt$, la vitesse instantanée à l'instant $t$ s'exprime par $v(t)=\frac{dx}{dt}$.
De même, l'accélération instantanée à l'instant $t$ s'exprime par $$a(t)=\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}= \frac{d^2x}{dt^2}$$
Lorsque la variable est le temps, $t$, les physiciens utilisent parfois une autre notation (due à Newton) : $$v(t_0)= \dot{x}(t_0) \qquad a(t_0)=\dot{v}(t_0)=\ddot{x}(t_0)$$
231 visites