Table des matières
Fonctions dérivables et dérivabilité
Une fonction dérivable en un réel $a$ peut posséder une fonction dérivée dont la limite en ce réel n'existe pas.
Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un réel $a$, on utilisera exclusivement la limite du taux d'accroissement de cette fonction en ce réel : $$f'\left(a\right) = \lim\limits_{x \to a} \frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a} \quad \text{ou} \quad f'\left(a\right) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$$
Problème résolu : Montrer que la fonction suivante est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f(x) = \begin{cases} x^2 \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$
Continuité sur $\mathbb{R}$ :
- Par composée et produit de fonctions continues, $f$ est continue sur $\mathbb{R}_0^-$ et sur $\mathbb{R}_0^+$.
- Est-elle continue en $0$ ? : Oui, car au voisinage de $0$, $\cos\left( \frac{1}{x} \right)$ oscille entre $-1$ et $1$, et le facteur $x^2$ assure la limite en $0$ de $f$. Elle est donc continue en $x = 0$ de par sa définition en ce réel.
Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Dérivabilité sur $\mathbb{R}$ : En tout réel $x$ non nul, $f$ est manifestement dérivable comme composée de telles fonctions et $$f'(x) = 2x \cdot \cos\left( \frac{1}{x} \right) + \sin\left( \frac{1}{x} \right)$$
Au voisinage de zéro, le terme $\sin\left( \frac{1}{x} \right)$ oscille entre $-1$ et $1$, et vu que $2x \cdot \cos\left( \frac{1}{x} \right)$ tend vers $0$, $f'$ ne semble pas avoir de limite en zéro. Il faut s'en assurer !
Qu'en est-il de la dérivabilité de $f$ en zéro ?
Nous devons chercher la limite éventuelle du taux d'accroissement de notre fonction en zéro : $$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h^2 \cdot \cos \left( \frac{1}{h} \right)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} h \cdot \underbrace{\cos\left( \frac{1}{h} \right)}_{\in \left[ -1; 1 \right]} = 0$$
La fonction $f$ est donc dérivable en zéro et sa dérivée en ce point est nulle.
Conclusion : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Non dérivabilité en un point
Une fonction n'est pas dérivable en $x=a$ si :
- le graphe de la fonction possède un trou en $x=a$.
- le graphe possède un saut de discontinuité en $x=a$ (elle saute d'une ordonnée à une autre en $a$).
- le graphe possède une tangente verticale en $x=a$ ($f'(a) = \pm \infty$).
- la droite $x=a$ est une asymptote au graphe.
- le graphe de la fonction possède un point anguleux en $x=a$ ($f'_g(a) \neq f'_d(a)$).
- le graphe de la fonction possède un point de rebroussement en $x=a$.
Dérivabilité implique continuité
Soit $I$ un intervalle ouvert, $a \in I$ et soit $f : I \to \mathbb R$ une fonction.
- Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
- Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$.
Preuve : pour tout $h\neq 0$ $$f(a+h)-f(a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h$$ Alors $$\lim\limits_{h \rightarrow 0}{f(a+h)-f(a)} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}h = f'(a) \cdot 0 = 0$$ car $f'(a)$ existe, pat hypothèse. D'où : $$\lim\limits_{h \rightarrow 0}{f(a+h)-f(a)} = 0 \quad \textrm{ou} \quad \lim\limits_{h \rightarrow 0}{f(a+h) = f(a)} \quad \textrm{ou} \quad \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$$ ce qui montre la continuité de $f$ en $a$.
La réciproque de cette propriété est fausse. La continuité en un réel n'implique pas la dérivabilité en ce réel. La fonction valeur absolue en est un contre-exemple.
NDLR : voir Derivabilite.tex
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