Dérivation des fonctions trigonométriques

On s'intéresse aux dérivées des fonctions sinus, cosinus et tangente. On abordera d’abord la dérivée de $\sin x$ en se basant sur la définition de la dérivée, puis on utilisera ce résultat pour déterminer les dérivées de $\cos x$ et $\tan x$.

$$\begin{align*} (\sin x)' &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h + \sin x (\cos h - 1)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \ \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \ \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} \\ &= \cos x \left( \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \right) + \sin x \left( \lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} \right) \end{align*}$$

voir Limites des fonctions trigonométriques

$\newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)}$ $$\begin{eqnarray*} (\cos x)' &=&\lim_{h \to 0} \frac{\cos{\Par{a+h}}-\cos{a}}{h} \\ &=& \lim_{h \to 0} \frac{\cos{h}-1}{h} \cdot \cos{a} - \lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} \cdot \sin{a} \\ &=& 0.\cos{a} - 1.\sin{a} \\ &=& -\sin{a} \end{eqnarray*}$$