Exercices sur les dérivées

Exercice 1 : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ (à vérifier !) par $f(x)=\dfrac{5x-3}{x^2+x+1}$. On note $\mathcal{G}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

n° 1.1 : On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, calculer $f'(x)$.

n° 1.2 : Étudier les variations de la fonction $f$.

n° 1.3 : Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $-\frac{3}{2}$.

n° 1.4 : Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.

Exercice 2 : Soit $f : x \mapsto x^3+x^2-x$.

n° 2.1 : Déterminer les variations de $f$.

n° 2.2 : Déterminer l'équation de $\mathcal{T}$, tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a=0$.

n° 2.3 : On souhaite étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{T}$.

Calculer $d(x) = f(x) - (mx+p)$, où $y=mx+p$ est l'équation de $\mathcal{T}$.
Déterminer le signe de $d(x)$.
Compléter par au-dessus / en-dessous / intercepte:
1. Si $d(x)>0$, alors $\mathcal{C}_f$ est ……………………… de $\mathcal{T}$
2. Si $d(x)<0$, alors $\mathcal{C}_f$ est ……………………… de $\mathcal{T}$
3. Si $d(x)=0$, alors ……………………………………………………….
Dans un repère orthonormé, tracer $\mathcal{T}$ puis, à l'aide du tableau de variations de $f$, donner l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$.

Exercice 3 : Même consigne qu'à l'exercice précédent avec la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = \dfrac{x}{x^2+1} \quad \text{et} \quad a = 0.\]

Exercice 4 : Même consigne qu'à l'exercice précédent avec la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = 3x^5 - 2x^3 + x \quad \text{et} \quad a = 0.\]

Exercice 5 : Même consigne qu'à l'exercice précédent avec la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -1 \right\rbrace$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{1+x^3} \quad \text{et} \quad a = 1.\]

Exercice 6 : Même consigne qu'à l'exercice précédent avec la fonction définie sur $\mathbb{R}^+_0$ par : \[f(x) = x - \dfrac{2}{\sqrt{x}} \quad \text{et} \quad a = \dfrac{9}{4}.\]

Exercice 7 : Étudier la fonction $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \: ; \: x \mapsto \frac{2x+1}{x^2-2x+5}$

Exercice 8 : Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \: ; \: x \mapsto (1-x) \sqrt{1-x^2}$. Donner le domaine de f, dresser le tableau de variation de f; on y précisera $f(0)$. Etudier la dérivabilité au bord du domaine. Conclure.

Exercice 9 : Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2\left(x-1\right)}$

Donner le domaine de $f$.
Vérifiez par calcul que $f \: '(x) = \frac{3x-2}{3\sqrt[3]{x{\left(x-1\right)}^2}}$ et indiquez $\text{dom}_d f$, le domaine de dérivabilité de $f$.
En utilisant l'information donnée au point précédent, établissez le tableau de variation de $f$.
Considérez le point du graphe de $f$ ayant pour abscisse $x=0$. Quel est la nature de ce point particulier? Justifiez votre affirmation et esquissez la partie de $G_f$ située au voisinage de ce point.

Exercice 10 : On considère la fonction \textit{f} définie par $f(x)=x\cdot\sqrt{x-x^2}$

Indiquer son domaine de définition puis montrer que $\forall x \in \text{dom}\,f \;:\; f(x)\geq 0$
Sachant que $f'(x)=\frac{3x-4x^2}{2\sqrt{x-x^2}}$, étudier les variations de \textit{f} sur son ensemble de définition puis indiquer la présence éventuelle d'extremum
Prouver que les tangentes aux points d'abscisses $0$ et $1$ sont respectivement horizontales et verticales
La courbe $G_f$ possède-t-elle un(des) point(s) d'inflexion? Si oui, rechercher son(leurs) abscisse(s).
Déterminer une équation de la tangente $T_0$ à $G_f$ au point d'abscisse \textit{0}.

Exercice 11 : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par l'expression $f: x \longmapsto 2 x^{3}-x-6$ et $k \in \mathbb{R}^{+}$. Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ est :

Aucune
Au moins une
Une unique
Au moins deux

Exercice 12 : Considérons le polynôme $f: x \longmapsto 4-(x+1)^{2}$. Quelle est l'image de l'intervalle $[-3 ; 0]$ par $f$ ?

Exercice 13 : Jules affirme que “La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x}{x^{2}+2}$ n'admet pas de tangente parallèle à la droite d'équation $y=-\frac{1}{4} x$”. Vrai ou faux ? Justifier.

Exercice 14 : Soit la fonction $f$ définie par : $$ f(x)=\frac{x^{5}}{5}-\frac{9 x^{4}}{4}+3 x^{3}+\frac{85}{2} x^{2}-150 x $$

n° 14.1 : Etudier les variations de $f$. (piste : utiliser Hörner pour déterminer les racines de $f'$)

n° 14.2 : Etudier la concavité de $f$. (piste : utiliser Hörner pour déterminer les racines de $f''$)

n° 14.3 : En déduire la coordonnée des points critiques éventuels en n'oubliant pas de les nommer.

n° 14.4 : Trouver la coordonnée du point d'intersection des tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points d'abscisse $0$ et $3$.

Exercice 15 : La fonction $f(x)=\dfrac{2 x^{2}-5 x-3}{|x|+1}$ est-elle dérivable en $0$ ? Déterminer le type de point critique en $0$. Justifier.

Exercice 16 : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par l'expression $f(x)=x^{3}-3 x-1$. Combien de solutions l'équation $f(x)=0$ possède-t-elle sur $\mathbb{R}^{+}$ ? Justifier.